¿Es este un criterio para la continuidad?

Question

Dado un espacio topológico $(X,\tau)$ y el espacio del producto $(X^2,\tau_2)$.
Definir la diagonal $\Delta X^2=\{(x,x)\,|\,x\in X\}$ y un conjunto $\mathbf S_\tau=\{\mathcal A\in\tau_2|\Delta X^2\subseteq\mathcal A\}$.

A continuación, $\mathbf S_\tau$ proporciona algún tipo de $\delta$-$\epsilon$ la disposición de los elementos en $X$, ya que uno puede formular condiciones como $\forall\mathcal A\in\mathbf S: (x,y)\in \mathcal A$, que afirma que $(x,y)$ está "cerca de la diagonal" y, por tanto, que el $x$ "está cerca" $y$.

Supongamos $f:X\to X'$ es una función entre espacios topológicos, entonces la pregunta es

Si $\;\forall x\in \!X\,\forall \mathcal E'\!\en \mathbf S'\,\exists\mathcal D\in\mathbf S\,\forall y\en \!X: [(x,y)\in\mathcal D\implica(f(x),f(y))\in\mathcal E']$, then $f$ es continua?

Si no, tal vez bajo la condición de que los espacios de $X,X'$ son Hausdorff?

Answer 1

Dado un subconjunto de a $A\subseteq X\times X$, vamos a $A_x$ denotar el sector $$ A_x = \{ y\in Y \,|\, (x,y)\in A\}.$$ Tenemos una incrustación $i_x\colon X\to X\times X$$y\mapsto(x,y)$, lo que nos permite expresar $A_x$$i_x^{-1}(A)$.

Para $$\mathbf S = \left\{\, A\subseteq X\times X \,\middle|\, \text{$$ is open, containing $\Delta$}\,\right\}$$ Puedo reclamar que ese $(A_x)_{A\in\mathbf S}$ están abiertas pone en $X$ contiene $x$ y proporcionado $X$$T_1$, abierto todos los conjuntos que contengan $x$ son de este tipo. Deje $A\in\mathbf S$, $A_x=i_x^{-1}(A)$ es abierto, ya que $A$ está abierto, y $x\in A_x$, ya que el $A$ contiene a la diagonal. Por el contrario, vamos a $B\subseteq X$ ser un conjunto abierto que contiene a$x$, y para cada $z\neq x$ deje $U_z$ ser un barrio de $z$$x\notin U_z$, luego $$ A = (B\times B) \cup \bigcup_{z\neq x} (U_z\times U_z) $$ es abierto, contiene la diagonal y satisface $A_x=B$.

Desde su declaración se reduce a $$\;\forall x\in \!X\,\forall \mathcal E'\!\en \mathbf S'\,\exists\mathcal D\in\mathbf S\colon \mathcal D_x \subseteq \mathcal f^{-1}(\mathcal E'_{f(x)}),$$ esto se convierte en el vecindario-definición de continuidad, siempre $X$$X'$$T_1$.

Answer 2

Suponga que $X'$$T_1$. Supongamos que $x\in X$, e $f(x)=y$, y deje $U$ ser abierto nbhd de $y$$X'$. Entonces $$N'=(U\times U)\cup\big((X'\setminus\{y\})\times(X'\setminus\{y\})\big)$$ is an open nbhd of the diagonal in $X'\X veces'$. By hypothesis there is an open nbhd $N$ of the diagonal in $X$ such that $\langle f(x),f(z)\rangle\N'$ whenever $\langle x,z\rangle\N$. Note that $\langle f(x),f(z)\rangle=\langle y,f(z)\rangle\N'$ iff $f(z)\en U$. Let $V=\{z\in X:\langle x,z\rangle\N\}$; $V$ is an open nbhd of $x$ in $X$, and $f[V]\subseteq U$. Thus, $f$ is continuous at $x$, and since $x\in X$ was arbitrary, $f$ es continua.

Añadido: tenga en cuenta que cada función continua $f:X\to X'$ satisface la condición. Si $N'$ es una nbhd de la diagonal en $X'\times X'$, e $f:X\to X'$ es continua, entonces la función

$$g:X\times X\to X'\times X':\langle x,y\rangle\mapsto\langle f(x),f(y)\rangle$$

es continuo, por lo $N=g^{-1}[N]$ es una nbhd de la diagonal en $X\times X$, y es claro que si $\langle x,y\rangle\in N$,$\langle f(x),f(y)\rangle\in N'$. Por lo tanto, la condición es equivalente a la continuidad al$X'$$T_1$.