No estoy seguro de lo que la intuición que usted está buscando en las similitudes de los modelos matemáticos... Es como la intuición acerca de la similar ritmo de dos muy diferentes piezas de música? Me temo que es todo en la de matemáticas.
Es decir, la KdV ser una solución de la ecuación con el prototipo de "mágico" soliton solución de $v(x,t)=-2c \operatorname{sech} ^2 (\sqrt{c}(x-ct))$, esta forma de estar protegida por una infinidad de leyes de conservación, se aplica a las aguas poco profundas, y por lo tanto muestra ondas solitarias.
Puramente formal, por un nominal parámetro "tiempo", no en tiempo real, si una de Schroedinger potencial sucede (!?) también obedecer a esta ecuación, entonces usted sabe cómo deforma, es decir, un parámetro (t) de la familia de las posibilidades que tienen el mismo espectro. Cómo? Es de suponer que usted sabe que, dada la KdV, usted puede definir un operador antihermitean
$$
B=-4\partial_x^3 +3(v\partial_x + \partial_x ~v),
$$
que se combina con el Sturm-Liouville operador (Hermitean de hamilton!)
$$
H=-\partial_x^2 +v,
$$
para producir el célebre Lax ecuación de compatibilidad,
$$
H_t=[B,H],
$$
que se supone que recuerdan el Heisenberg de la ecuación de movimiento (pero para la real , no este falso parámetro; aquí, B juega el papel de la hamiltoniana, y H la función del operador).
Entonces uno se puede resolver la ecuación de una unitario U,
$$
U_t= BU,
$$
de modo que $B=U_t U^{-1}$, y, a continuación, el Lax ecuación conduce a la equivalente de t -dependiente de la hermitean de Hamilton,
$$
H(t,x)=U(t,x), H(0,x), U(t,x)^{-1}.
$$
Esto significa que, la definición de una función de onda deformada a través de $\psi_t=B\psi$,
$$
\psi(t,x)= U(t,x) \psi(0,x),
$$
el espectro se conserva a través de esta equivalencia transformación del espacio de Hilbert,
$$
(H(0,x)-\lambda)\psi(0,x)=0 ~~\Longrightarrow (H(t,x)-\lambda)\psi(t,x)=0.
$$
Wow! Efectivamente, el potencial se ha notado w.r.t. este falso parámetro de tiempo a uno diferente, que sin embargo ha conservado su "forma": el conjunto de valores propios, que más o menos la caracterizan (evitando que se quejan... una larga historia). (Gardner, Greene, Kruskal y Miura, 1967). El isospectral flujo y la forma de preservación de los solitones son dos aspectos de la misma infinidad de conserva integrales, mayor simetría, de la KdV.
Usted podría pensar que esto es "Gee-wizz académico", pero, ¡no! Lo que realmente encuentra aplicaciones en isospectral supersimétricas construcciones posibles, específicamente reflectionless, en la "vida real"!
Nota añadida. En el medio siglo desde la introducción de la anterior-insinuó inversa el método de dispersión, la KdV se ha convertido en el pilar de la integrabilidad de la rama de las matemáticas aplicadas, y así, con diversas aplicaciones de la mecánica de fluidos, más allá de la superficie de las ondas de gravedad, a la interna de solitones en el océano subsuperficial de las corrientes; la física del plasma; no lineales acústica burbujeante de líquidos; oquedad de las babosas en lechos fluidizados, y el flujo de magma y los conductos de las ondas en geofísica, de la Gran Mancha Roja de Júpiter, etc...
Mi impresión es que es el primer recurso para cualquier estudio de la no linealidad, así como el oscilador armónico, básicamente, consiste en una gran parte de la mecánica cuántica. Así que, para ser algo deconstructiva, la conexión no está entre las aguas poco profundas de las olas y la ecuación de Schroedinger espectro, sino que, más bien, la isospectral flujo de especial Sturm-Liouville de los operadores íntima conexión con el más simple integrable PDE, el KdV, que es la base de esa cultura. Cada uno tiene docenas de aplicaciones y repercusiones, pero la profundidad de la conexión es matemático, no un bruto y listo puente entre los modelos de sistemas físicos... (los Rayos pueden golpear yo, en este foro de física para la admisión de eso!!!).
