¿Cómo reconciliar estas$L^p$ y$L^2$ (in) igualdades?

Question

Sea$X,Y$ una variable aleatoria con media$\mu$ y que tenga momentos finitos de, digamos, todos los órdenes.

Es un ejercicio fácil para mostrar que$$\operatorname{Var}(X) = E[|X-\mu|^2] = \frac{1}{2} E[|X-Y|^2].\tag{*}$ $ Si queremos una versión$L^p$ de esta sentencia,$1 \le p < \infty$, podemos escribir $$ \begin{align*} E\left[|X-\mu|^p\right] &= E\left[\left|E[X-Y \mid X]\right|^p\right] \\ &\le E\left[E[|X-Y|^p \mid X]\right] &&\text{(conditional Jensen)} \\ &= E[|X-Y|^p]. \end {align *} $$ Sin embargo, esto no se reduce a (*) cuando$p=2$, porque falta el factor de$1/2$. ¿Existe una versión "mejor" de esta desigualdad$L^p$ que contiene la igualdad para$p=2$?

Answer 1

Es sólo una respuesta parcial, para$p\geqslant 3$. Asumir que $\mu=0$. La fórmula de Taylor da para cualquier$x$ y$y$ que$$\lvert x+y\rvert^p=\lvert x\rvert^p+p\lvert x\rvert^{ p-2}xy+p(p-1)\int_0^1(1-s)y^2 \lvert x+sy\rvert^{p-2}\mathrm ds . $ $ Usando esto con$x=X$,% Ya que$y=-Y$, obtenemos por la desigualdad de Jensen \begin{align} \mathbb E\left[Y^2\lvert X+sY\rvert^{p-2} \right]&= \mathbb E\left[\mathbb E\left[ Y^2\lvert X+sY\rvert^{p-2}\right] \mid \sigma(Y) \right] \\ &=\mathbb E\left[Y^2\mathbb E\left[ \lvert X+sY\rvert^{p-2}\right] \mid \sigma(Y) \right]\\ &\geqslant \mathbb E\left[Y^2\lvert\mathbb E\left[ X+sY\mid \sigma(Y) \right]\rvert^{p-2} \right]\\ &=s^{p-2}\mathbb E\lvert Y\rvert^p \end {align}
De ahí que
Terminamos con$$\mathbb E\lvert X-Y\rvert^p= \mathbb E\lvert X\rvert^p+p(p-1)\int_0^1(1-s)\mathbb E\left[Y^2\lvert X+sY\rvert^{p-2} \right] \mathrm ds. $ $