Primos generados por una fracción continua

Question

En el post hay una explicación para el comportamiento de este finito continuó fracción en relación con los números primos? Hice esta pregunta en una no-forma generalizada centrarse sólo en el $4th$ parcial convergente pero ahora generalizar el problema y aclarar ,tenemos

Dada la continua fracción que satisface la propiedad de la propuesta en uno de mis viejos posts

$G(q)=\cfrac{1}{1-q+\cfrac{q(1-q)^2}{1-q^3+\cfrac{q(1-q^2)^2}{1-q^5+\cfrac{q(1-q^3)^2}{1-q^7+\cfrac{q(1-q^4)^2}{1-q^9+\dots}}}}}$

y $kth$ parcial convergente de la continuación de la fracción

$\cfrac{1}{1-q+\cfrac{q(1-q)^2}{1-q^3+\cfrac{q(1-q^2)^2}{1-q^5+\cfrac{q(1-q^3)^2}{\ddots+\cfrac{q(1-q^k)^2}{1-q^{2k+1}}}}}}=\exp\Big(\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n\phi_{k}(n)\,q^n\Big)$

donde $|q|\lt\frac{1}{4}$,e $\phi_{k}(n)$ es nuestro símbolo de la opción que representa los coeficientes de la serie(por favor, tenga en cuenta que no representa ninguna función estándar) en función de la $kth$ parcial convergente $k\gt2$.

Para $k\gt2$,para cada parcial convergente de la continuación de la fracción parece que tienen la propiedad de que:

Para todos los valores de $n$, pero en algunos(que son excepciones a la regla) ,$\phi_{k}(n)$ es entero al $n$ es primo y no entero al $n$ es compuesto.

Por ejemplo, en el $7th$ parcial convergente de la continuación de la fracción,solo hay una excepción a $n=15$ $1\lt n\lt200$

Formalmente podemos llamar a $\phi_{k}(n)$ aritmética función que devuelve un entero al $n$ es un número primo y no enteros al $n$ es un número compuesto por todos los números naturales $n$, pero un par de $k\gt2$.

Así que la pregunta es

¿Por qué es $\phi_{k}(n)$ entero al $n$ es primo y no enteros, cuando está compuesto por todos los valores de $n$, pero un par de $k\gt2$?

Podemos ser llevado a la conjetura de que siempre que $n=prime$,la función aritmética $\phi_{k}(n)$ es siempre entero.

Answer 1

Tomar cualquier potencia de la serie en la forma $F(q)=1+a_2q^2+a_3q^3+\cdots$ con coeficientes enteros: es decir, el término constante es $1$ y el término lineal es cero, de lo contrario es un poder general de la serie. Su $G(q)$ toma esta forma, como lo hacen los $k$th parcial convergents.

Siguiente, reescribir $F(q)$ en el formulario $$ F(q)=\prod_{k=2}^{\infty}(1+\alpha_k q^k)=(1+\alpha_2 q^2)(1+\alpha_3 q^3)\cdots $$ que siempre se puede hacer y da $\alpha_i\in\mathbb{Z}$.

Ahora, para $F(q)=\exp f(q)$, se pregunta por qué $f(q)=f_1q+f_2q^2+\cdots$ da entero coeficientes de $f_n$ siempre $n$ es un número primo, pero no al $n$ es compuesto.

Para ver por qué, escribir $f(q)=\ln F(q)$ y tome la expansión de la energía $$ f(q) = \ln F(q) = \sum_{k=2}^\infty \ln(1+\alpha_k q^k) = \sum_{k=2}^\infty \sum_{i=1}^\infty (-1)^{i-1}\frac{\alpha_k^i q^{ki}}{i}. $$ Contribuciones para el coeficiente de $q^n$ provienen de pares $(k,i)$ donde $ki=n$. Si $n$ es primo, entonces $k=n$$i=1$: al contrario, $k=1$$i=n$, no contribuye como $k\ge2$ (o, equivalentemente, el coeficiente de $\alpha_1=0$). Al $k=n$ $i=1$ es la única que contribuye plazo para el coeficiente de $q^n$, el coeficiente de $f_n=\alpha_n$.

Al $n$ no es primo, pueden existir condiciones que contribuyen a que el coeficiente de $q^n$ donde $i>1$ y que por lo tanto puede no ser integral.