En la forma cerrada de una integral relacionada con$cosh(x)$

Question

La pregunta es que, ¿podemos expresar el$I(\alpha)$ integral a través de algunas funciones especiales? Dx $$ Normalmente, cuando$\alpha=1,2,3,...$, se puede expresar a través de la función Riemann$\zeta$ $ \% {\ alpha} % , Pero ¿y si$\alpha=\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$,$\frac{5}{2}$, etc.

Por favor, ayúdame cuando$\alpha=\frac{3}{2}$, especialmente.

Answer 1

Empecemos con el$\;\displaystyle\int \frac {dx}{\cosh(x)^2}=\frac 2{1+e^{-2x}}+C\;$ (con la opción$C=-2$) y usamos la integración por partes:

\begin{align} I(\alpha) &= \int_0^\infty \frac{x^\alpha}{\cosh^2x}dx\\ &=\left.x^\alpha\left(\frac 2{1+e^{-2x}}-2\right)\right|_0^\infty-\int_0^\infty \alpha\,x^{\alpha-1}\left(\frac 2{1+e^{-2x}}-2\right)\,dx\\ &=2\alpha \int_0^\infty \frac {x^{\alpha-1}\,e^{-2x}}{1+e^{-2x}}\,dx\\ &=2\alpha \int_0^\infty \frac {x^{\alpha-1}}{e^{2x}+1}\,dx\\ &=2\alpha\, 2^{1-\alpha-1}\int_0^\infty \frac {(2x)^{\alpha-1}}{e^{2x}+1}\,d(2x)\\ &= 2^{1-\alpha}\alpha\,\int_0^\infty \frac {t^{\alpha-1}}{e^t+1}\,dt \end{align}

Ahora una variante cerrada de$\zeta$ es la función de Dirichlet eta que puede ser definida por:$$\eta(s) := \frac{1}{\Gamma(s)} \int_{0}^{\infty} \frac{t^{s-1}}{e ^ t + 1}\, dt=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta(s) $ $

Todo esto nos da:$$I(\alpha) ={2^{1-\alpha}\left(1-2^{1-\alpha}\right)}{\,\Gamma(\alpha+1)}\,\zeta(\alpha)$ $

Answer 2

Gradshteyn, Ryzhik: Tabla de Integrales, Series y Productos 7ed; Elemento 3.527.3 para $\mu \ne 2$ $$\int_0^{\infty} \frac{x^{\mu-1}}{\cosh^2 ax} dx =\frac{4}{(2a)^{\mu}}(1-2^{2-\mu})\Gamma(\mu)\zeta(\mu-1) $$ y $\frac{\ln 2}{a^2}$$\mu=2$.

Para una derivación de la fórmula de ver K. N. Boyadzhiev y V. H. Moll, Las integrales en Gradshteyn y Ryzhik. Parte 21: funciones Hiperbólicas Ejemplo 9.2, Ciencias Matemáticas, Vol. 22 (2011), 109-127 disponible desde el Moll de la página http://129.81.170.14/~vhm/formula_html/final21.pdf