Análisis asintótico de la integral de la $\int_0^1 \exp\{n (t+\log t) + \sqrt{n} wt\}\,dt$

Question

La integral estoy tratando de estudio es

$$F(n) = \int_0^1 \exp\left\{n(t+\log t)+\sqrt{n}wt\right\}\,dt, \etiqueta{1}$$

donde $w$ fijo es un número complejo con $\Re(w) < 0$$\Im(w) > 0$. Como voy a indicar a continuación, en "esperar" un asintótica expresión de la forma

$$F(n) \sim a e^{n+\sqrt{n}w} n^{-1}.$$

Mi primer intento en la estimación de $(1)$ fue para tratar de abordar el problema de la oscilatorio integrando. Me puse a imitar el método de steepest descent y deforman el contorno de integración de manera que la parte imaginaria del argumento de $f(n,t) = n(t+\log t)+\sqrt{n}wt$ era constante.

La imagen de abajo muestra donde se $\Re(f(n,t)) = \text{const.}$ (líneas gruesas), donde $\Im(f(n,t)) = \text{const.}$ (líneas finas), y el intervalo de $(0,1)$ (línea roja). El parámetro $n$ se ha fijado en el $10$.

Por Cauchy teorema puedo deformar el contorno $(0,1)$ para el contorno de $C_n$, en el que

$$\Im(f(n,t)) = \sqrt{n}\Im(w),$$

se muestra en color rojo.

Así que he

$$\begin{align} F(n) &= \int_{C_n} \exp\left\{n(t+\log t)+\sqrt{n}wt\right\}\,dt \\ &= \int_{C_n} \exp\left\{\Re\left(n(t+\log t)+\sqrt{n}wt\right) + \sqrt{n}\Im(w)\right\}\,dt \\ &= e^{\sqrt{n}\Im(w)} \int_{C_n} \exp\left\{n(\Re(t)+\log |t|)+\sqrt{n}\Re(wt)\right\}\,dt, \end{align}$$

así que al menos ahora estoy tratando con un verdadero integral. Sin embargo, no sé a dónde ir desde aquí. Es claro que $C_n \to (0,1)$$n \to \infty$, así que creo que la última integral se puede asintótica

$$\int_0^1 \exp\left\{n(\Re(t)+\log |t|)+\sqrt{n}\Re(wt)\right\}\,dt = \int_0^1 \exp\left\{n(t+\log t)+\sqrt{n}\Re(w)t\right\}\,dt, \etiqueta{2}$$

pero no sé cómo obligado el "error"

$$\int_{E_n} \exp\left\{n(\Re(t)+\log |t|)+\sqrt{n}\Re(wt)\right\}\,dt,$$

donde $E_n$ es el de lazo cerrado $C_n \cup -(0,1)$, se muestra a continuación.

Si este error es lo suficientemente pequeña, yo podría ver si podía aplicar las ideas generales de la norma de Laplace método para el real integral de la $(2)$, aunque no de la forma habitual. Mi conjetura sería que

$$\int_0^1 \exp\left\{n(t+\log t)+\sqrt{n}\Re(w)t\right\}\,dt \sim a e^{n+\sqrt{n}\Re(w)} n^{-1}$$

dado que la mayor contribución a la integral viene de un barrio de $t=1$.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

La única condición que se imponen en los $w$ es que podemos encontrar una constante $C$ tal que $\operatorname{Re} w \geq C$. Si tomamos $n > C^2+1$ (de modo que la cantidad de $n + \sqrt{n} \operatorname{Re} w$ está acotado abajo por una constante positiva), entonces nos aseguramos de que todas las estimaciones que aquí se sostenga de manera uniforme con respecto a $w$.

Hemos de empezar por cambiar las variables de $t = 1-s$ para obtener

$$\begin{align*} &\int_0^1 \exp\left\{n(t+\log t)+\sqrt{n}wt\right\} dt \\ &\qquad = e^{n+w\sqrt{n}} \int_0^1 \exp\left\{n[\log(1-s)-s]-\sqrt{n}ws\right\}ds \tag{%#%#%} \end{align*}$$

y tenga en cuenta que para $*$ hemos $$\begin{align*} n[\log(1-s)-s]-\sqrt{n}ws &= -\left(2n+\sqrt{n}w\right)s - n \sum_{k=2}^{\infty} \frac{s^k}{k}. \end{align*}$$

La mayor contribución de el integrando ahora viene de un barrio de $s<1$ de la anchura $s=0$. De hecho, la contribución del resto del intervalo es infinitamente pequeño:

$$\begin{align*} &\left|\int_{1/\sqrt{n}}^1 \exp\left\{n[\log(1-s)-s]-\sqrt{n}ws\right\}ds\right| \\ &\qquad \leq \int_{1/\sqrt{n}}^1 \exp\left\{n[\log(1-s)-s]-\sqrt{n}\operatorname{Re}(w)s\right\}ds \\ &\qquad \leq \left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\exp\left\{n\left[\log\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)-\frac{1}{\sqrt{n}}\right]-\operatorname{Re} w\right\} \\ &\qquad \leq \exp\left\{-2\sqrt{n} - \operatorname{Re} w\right\}, \tag{1} \end{align*}$$

donde la segunda desigualdad se sigue de nuestra hipótesis sobre el tamaño de $O\left(1/\sqrt{n}\right)$ y el tercero de $n$. El resto del intervalo de $\log(1-x) \leq x$ hemos

$$\exp\left\{-n \sum_{k=2}^{\infty} \frac{s^k}{k}\right\} = 1 + O\a la izquierda(n s^2\right)$$

mediante la ampliación de la exponencial como una potencia de la serie, por lo que nuestro objetivo es estimar

$$\begin{align*} &\int_0^{1/\sqrt{n}} \exp\left\{n[\log(1-s)-s]-\sqrt{n}ws\right\}ds \\ &\qquad = \int_0^{1/\sqrt{n}} e^{-\left(2n+\sqrt{n}w\right)s}\,ds + O\left(n\int_0^{1/\sqrt{n}} e^{-\left(2n+\sqrt{n}w\right)s} s^2\,ds\right). \tag{2} \end{align*}$$

La línea de $0 \leq s \leq 1/\sqrt{n}$ es tangente a la curva de $y=ex$$y=e^x$, por lo que desde la convexidad de la exponencial tenemos $x=1$ todos los $e^x \geq ex > 2x$. Por lo tanto $x \geq 0$ es creciente y, por tanto, $e^x-x^2$ todos los $x^2 < e^x \leq e^{nx}$$x \geq 0$. Por tanto, tenemos

$$\begin{align*} \left|\int_{1/\sqrt{n}}^\infty e^{-\left(2n+\sqrt{n}w\right)s} s^2 \,ds\right| &\leq \int_{1/\sqrt{n}}^\infty e^{-\left(2n+\sqrt{n}\operatorname{Re} w\right)s} s^2 \,ds \\ &< \int_{1/\sqrt{n}}^\infty e^{-\left(n+\sqrt{n}\operatorname{Re} w\right)s} \,ds \\ &= \frac{e^{-\sqrt{n}-\operatorname{Re} w}}{n+\sqrt{n}\operatorname{Re} w} \\ &= O\left(n^{-1}e^{-\sqrt{n}-\operatorname{Re} w}\right), \end{align*}$$

de dónde

$$\begin{align*} \int_{0}^{1/\sqrt{n}} e^{-\left(2n+\sqrt{n}w\right)s} s^2 \,ds &= \int_0^\infty e^{-\left(2n+\sqrt{n}w\right)s} s^2 \,ds + O\left(n^{-1}e^{-\sqrt{n}-\operatorname{Re} w}\right) \\ &= 2 \left(2n+\sqrt{n}w\right)^{-3} + O\left(n^{-1}e^{-\sqrt{n}-\operatorname{Re} w}\right). \tag{3} \end{align*}$$

Del mismo modo,

$$\begin{align*} \int_0^{1/\sqrt{n}} e^{-\left(2n+\sqrt{n}w\right)s} \,ds &= \int_0^\infty e^{-\left(2n+\sqrt{n}w\right)s} \,ds + O\left(e^{-2\sqrt{n}-\operatorname{Re} w}\right) \\ &= \left(2n+\sqrt{n}w\right)^{-1} + O\left(e^{-2\sqrt{n}-\operatorname{Re} w}\right). \tag{4} \end{align*}$$

La combinación de $n \geq 1$, $(1)$, $(2)$, y $(3)$ nos encontramos con que

$$\begin{align*} &\int_0^1 \exp\left\{n[\log(1-s)-s]-\sqrt{n}ws\right\}ds \\ &\qquad = \left(2n+\sqrt{n}w\right)^{-1} + O\left(n\left(2n+\sqrt{n}w\right)^{-3}\right) + O\left(e^{-\sqrt{n}-\operatorname{Re} w}\right) \tag{%#%#%} \end{align*}$$

de manera uniforme para$(4)$$**$. En términos de la integral original $\operatorname{Re} w > C$ hemos demostrado que

$$\int_0^1 \exp\left\{n(t+\log t)+\sqrt{n}wt\right\}dt \sim \frac{e^{n+\sqrt{n}w}}{2n+\sqrt{n}w}$$ como $n > C^2+1$.

Es interesante notar que $(*)$ también los rendimientos de la correcta asintótica como $n \to \infty$.