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¿Qué tan afortunado es que los límites directos de álgebras sean álgebras en el límite directo de los conjuntos subyacentes?

Uno puede describir directa e inversa de los límites de conjuntos (que se corresponden, respectivamente, a colimits y los límites de una cierta functor, $I\to Set$, $I^{op}\to Set$ respectivamente, donde $I$ es dirigido conjunto parcialmente ordenado).

Pero también queremos describir los límites de álgebras, tales como grupos, anillos, módulos, etc.

Para estas álgebras, el olvidadizo functor $U: \mathcal{C}\to Set$ ($\mathcal{C} = \mathbf{Grp}, \mathbf{Rng}, R-\mathbf{Mod}$, etc.) es correcto el medico adjunto del "libre-objeto" functor, por lo que naturalmente se conmuta con límites, en particular, el conjunto subyacente de un profuct de álgebras es el producto de la base de conjuntos, la terminal de objeto (cuando la hay) tiene un singleton como conjunto subyacente, etc. Y para la inversa de los límites, también es normal que el conjunto subyacente de la inversa del límite de un sistema de álgebras es el límite inversa de la base de conjuntos.

Pero $U$ tiene, en general, ningún derecho-adjoint y así no se queda adjunto; así que no hay razón para esperar que se había conmuta con colimits. De hecho, muy a menudo, no : en $\mathbf{Grp}$ el subproducto es el producto libre, en $R-\mathbf{Mod}$, es el producto, etc. Y a veces, colimits ni siquiera existe (mientras que ellos hacen en $Set$) : co-productos a veces no existen. (EDIT: Como se señaló en los comentarios, este último comentario es realmente malo; variedades de álgebras son cocomplete)

Sin embargo, directo límites (que en realidad son colimits, como ya he mencionado) siempre existen en las variedades de álgebras de que son los "naturales" de las categorías de álgebras, y en estos, $U$ viajes con dicha directa límites (ver Grätzer, Álgebra Universal , por ejemplo, para un tratamiento de la directa y la inversa de los límites), que se siente como una suerte de cosa.

Pero qué suerte es ? Hay un fenómeno más general que yo no estoy viendo que hace que esto suceda o es sólo "$U$ viajes directa con los límites" ? Hay una clase más general de colimits que se conservan por $U$ ?

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Moebius2867 Puntos 21

Si usted tiene una contigüidad donde $F\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ que queda adjunto a$U$, $U\circ F$ es una mónada. Y la categoría de álgebras sobre esta mónada es equivalente a $\mathcal{D}$.

Si la mónada $U\circ F$ conserva cierto tipo de colimits, a continuación, $U$ también lo hace.

Así que, en su caso, la mónada sería el libre functor, como el grupo de free gratis, $R$- módulo. Tan sólo tiene que comprobar que el grupo functor desplazamientos con ciertas colimits en el nivel de los conjuntos. (I. e. para grupos: los colimit de conjuntos de más de un poset $I$ es el mismo que el colimit de conjuntos de palabras en estos conjuntos de $I$.

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