Uno puede describir directa e inversa de los límites de conjuntos (que se corresponden, respectivamente, a colimits y los límites de una cierta functor, $I\to Set$, $I^{op}\to Set$ respectivamente, donde $I$ es dirigido conjunto parcialmente ordenado).
Pero también queremos describir los límites de álgebras, tales como grupos, anillos, módulos, etc.
Para estas álgebras, el olvidadizo functor $U: \mathcal{C}\to Set$ ($\mathcal{C} = \mathbf{Grp}, \mathbf{Rng}, R-\mathbf{Mod}$, etc.) es correcto el medico adjunto del "libre-objeto" functor, por lo que naturalmente se conmuta con límites, en particular, el conjunto subyacente de un profuct de álgebras es el producto de la base de conjuntos, la terminal de objeto (cuando la hay) tiene un singleton como conjunto subyacente, etc. Y para la inversa de los límites, también es normal que el conjunto subyacente de la inversa del límite de un sistema de álgebras es el límite inversa de la base de conjuntos.
Pero $U$ tiene, en general, ningún derecho-adjoint y así no se queda adjunto; así que no hay razón para esperar que se había conmuta con colimits. De hecho, muy a menudo, no : en $\mathbf{Grp}$ el subproducto es el producto libre, en $R-\mathbf{Mod}$, es el producto, etc. Y a veces, colimits ni siquiera existe (mientras que ellos hacen en $Set$) : co-productos a veces no existen. (EDIT: Como se señaló en los comentarios, este último comentario es realmente malo; variedades de álgebras son cocomplete)
Sin embargo, directo límites (que en realidad son colimits, como ya he mencionado) siempre existen en las variedades de álgebras de que son los "naturales" de las categorías de álgebras, y en estos, $U$ viajes con dicha directa límites (ver Grätzer, Álgebra Universal , por ejemplo, para un tratamiento de la directa y la inversa de los límites), que se siente como una suerte de cosa.
Pero qué suerte es ? Hay un fenómeno más general que yo no estoy viendo que hace que esto suceda o es sólo "$U$ viajes directa con los límites" ? Hay una clase más general de colimits que se conservan por $U$ ?