¿Una simple prueba de la existencia de la extensión del campo numérico con las mismas raíces de la unidad?

Question

Estoy buscando una breve prueba de la siguiente declaración:

Deje que $K$ ser un campo numérico y $p$ un número primo. Entonces existe una extensión de campo $L \supset K$ de grado $p$ con $ \mu (L)= \mu (K)$ .

Mi enfoque actual es mostrar primero que existen infinitamente muchos grados $p$ extensiones de campo de $K$ que son parejamente no isomórficos (sobre $K$ ), y luego que sólo hay finamente muchos grados $p$ extensiones de campo $L \supset K$ con $ \mu (L) \neq\mu (K)$ hasta el isomorfismo. Para esto invoco bastantes pequeños resultados de la teoría algebraica de los números, y el resultado es que hay infinitamente muchos tales extensiones de campo, aunque sólo necesito una. Así que mi pregunta es;

¿Hay alguna prueba simple y no implicada de la declaración anterior?

Answer 1

Elija un número primo $q \equiv 1 \bmod 4p$ no dividiendo el discriminante de $K$ y dejar que $F$ ser el subcampo de grado $p$ dentro del campo de $q$ - las raíces de la unidad. Obsérvese que $F$ es real. La extensión $KF/K$ se ramifica exactamente en $q$ . El campo $L = KF$ no contiene el $q$ - las raíces de la unidad desde $L \cap { \mathbb Q}( \zeta_q ) = F$ . Si $L$ contiene algunos $n$ - la raíz de la unidad con $n$ coprimo a $q$ Entonces $L$ debe contener $K( \zeta_n )$ que está unificado en $q$ . Pero $L/K$ está completamente ramificado en los primos de arriba $q$ contradicción.