Encontrar la parte real e imaginaria de z

Question

que $z=$ % $ $$ \left( \frac{1 + \sin\theta + i\cos\theta}{1 + \sin\theta - i\cos\theta} \right)^n$

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Racionalizar el denominador: $$\frac{1 + \sin\theta + i\cos\theta}{1 + \sin\theta - i\cos\theta}\cdot\left( \frac{1 + \sin\theta + i\cos\theta}{1 + \sin\theta + i\cos\theta}\right) = \frac{(1 + \sin\theta + i\cos\theta)^2}{(1 + \sin\theta)^2 + \cos^2\theta}$ $

$$=\frac{(1 + \sin\theta)^2 + \cos^2\theta + 2i(1 + \sin\theta)\cos\theta }{(1 + \sin\theta)^2 + \cos^2\theta}$$

por lo tanto

$$x = \frac{(1 + \sin\theta)^2 + \cos^2\theta }{(1 + \sin\theta)^2 + \cos^2\theta} $$

$$y= \frac{2i(1 + \sin\theta)\cos\theta }{(1 + \sin\theta)^2 + \cos^2\theta}$$

Según el teorema del binomio,

$$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k}y^k$$

obtenemos

$$z = \frac{1}{(1 + \sin\theta)^2 + \cos^2\theta}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} ((1 + \sin\theta)^2 + \cos^2\theta)^{n-k}\cdot(2i(1 + \sin\theta)\cos\theta)^k$$

.. .y que es donde estoy atrapado. ¿Qué te parece? Gracias por la atención.

Answer 1

Sugerencia: Expresar la fracción $r e^{i\theta}$ y calcular el $r^n e^{i n\theta}$.

Answer 2

Tomando nota de $$ 1+\sin\theta=1+\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=2\cos^2(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}), \cos\theta=\sin (\frac{\pi}{2}-\theta)=2\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})$ $ uno tiene\begin{eqnarray} z&=&\left( \frac{1 + \sin\theta + i\cos\theta}{1 + \sin\theta - i\cos\theta} \right)^n\\ &=&\left( \frac{1+\cos(\frac{\pi}{2}-\theta) + i\sin (\frac{\pi}{2}-\theta)}{1+\cos(\frac{\pi}{2}-\theta) - i\sin (\frac{\pi}{2}-\theta)} \right)^n\\ &=&\left( \frac{2\cos^2(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}) + i2\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})}{2\cos^2(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}) - i2\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})} \right)^n\\ &=&\left( \frac{\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})}{\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}) - i\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})} \right)^n\\ &=&(\cos(\frac{\pi}{2}-\theta) + i\sin(\frac{\pi}{2}-\theta))^n\\ &=&\cos(\frac{n\pi}{2}-n\theta) + i\sin(\frac{n\pi}{2}-n\theta) \end{eqnarray} y por lo tanto las partes real e imaginarias son fáciles de conseguir.

Answer 3

Es conveniente utilizar $e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta$.

Obtenemos\begin{align*} \color{blue}{z}&\color{blue}{=\left(\frac{1+\sin \theta +i\cos \theta}{1+\sin\theta-i\cos \theta}\right)^n}\\ &=\left(\frac{1+ie^{-i\theta}}{1-ie^{i\theta}}\right)^n\\ &=\left(\frac{1+ie^{-i\theta}}{-ie^{i\theta}(1+e^{-i\theta})}\right)^n\\ &=\left(ie^{-i\theta}\right)^n\\ &=i^ne^{-in\theta}\\ &=\color{blue}{i^n\left(\cos (n\theta) - i\sin(n\theta)\right)} \end{align*}

Answer 4

El denominador es $2+2\sin\theta$, es el numerador, del ajuste del $2\alpha=\theta$, $ 1 + e ^ {2i\alpha} = 2e ^ \cos\alpha {i\alpha} $$ entonces el número es de $$ \left(\frac{\cos\alpha}{1+\sin2\alpha}\right) ^ {n} e ^ {ni\alpha} $$

Answer 5

Sabemos que $a+ib=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot e^{i\arctan \frac{b}{a}}\Rightarrow \frac{a+ib}{a-ib}=e^{2i\arctan \frac{b}{a}}$ y $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$ a continuación:

$\left( \frac{1+\sin \theta +i\cos \theta }{1+\sin \theta -i\cos \theta } \right)^{n}=e^{i\cdot 2n\arctan \frac{\cos \theta }{1+\sin \theta }}=\cos \left( 2n\arctan \frac{\cos \theta }{1+\sin \theta } \right)+i\sin \left( 2n\arctan \frac{\cos \theta }{1+\sin \theta } \right)$