Saltos de dimensión

Question

Muchos aspectos matemáticos tienen una noción de "dimensión", ya sea rigurosamente o ingenuamente, y diferentes dimensiones pueden exhibir radicalmente diferente comportamiento. A menudo, el comportamiento es similar a los "cercanos" dimensiones, con ocasionales de la dimensión "saltos" que marca el límite a partir de un tipo de comportamiento a otro. A veces sólo hay una dimensión que tiene es marcadamente diferente de los demás. Ejemplos de este tipo de comportamiento puede ser una buena provokers de la "Que es tan raro, ¿por qué ocurre eso?" reacción que puede ser enganchado en las matemáticas. Quiero saber ejemplos de este comportamiento.

Mi instinto sería que como "dimensión" aumenta, hay más espacio para un comportamiento extraño, así que estoy más sorprendido cuando sucede lo contrario. Pero no quiero límite de respuestas, de modo que salta donde las cosas se vuelven notablemente más diferentes en un punto determinado, también son perfectamente válidos.

Answer 1

Mi favorito de estos es que hay precisamente una estructura diferenciable en $\mathbb{R}^n$ hasta diffeomorphism para todos $n$, excepto cuando $n = 4$, cuando hay uncountably muchos.

Answer 2

Mi ejemplo favorito es Politopos regulares. El número de politopos regulares es casi monótono decreciente de contable muchos en $\mathbb{R}^2$, cinco en \mathbb{R}^3$ $ 3 para $\mathbb{R}^n$ para $n > 4$. Pero en $n = 4$, obtenemos seis, que es medio raro.

Answer 3

He aquí un divertido pequeño ejemplo que pensé que era interesante... es muy simple, pero tiende a ir en contra de la mayoría de la gente geométrica del instinto.

Consideramos que el cubo de $[-2,2]^d$ en $\mathbb{R}^d$. En los puntos con todas las coordenadas igual a 1 o -1 (por ejemplo, en $\mathbb{R}^3$, puntos como (1,1,1), (1,-1,-1), etc) ponemos unidad de bolas. Definimos la "bola central" $B_d$ a ser el más grande de la bola centrada en el origen, que no se cruzan en el interior de cualquiera de las otras bolas que hemos colocado. Usted puede fácilmente visualizar esto en el caso de $d=2$, sólo de pensar de la plaza $[-2,2]^2$, dibuja 4 de la unidad de discos, uno centrado en cada uno de los cuadrantes, y luego de $B_d$ es el disco en el centro que es lo suficientemente grande como para simplemente pulse el límite de estos 4 bolas. La pregunta es, ¿cuál es la relación asintótica (como d tiende a infinito) entre el volumen de $B_d$ y el volumen de $[-2,2]^d$?

La respuesta es que $m(B_d)/m([-2,2]^d)$ va al infinito! La mayoría de la gente va a tratar de visualizar este problema en $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$ para obtener una intuición para el comportamiento, y sólo de forma implícita suponga que $B_d$ está contenida dentro de los $[-2,2]^d$. Y ciertamente lo es en los de baja dimensionalidad de los casos. Pero cuando realmente calcular el radio de $B_d$, se ve que es de $\sqrt{d}-1$, y por lo que $B_d$ no es ni siquiera figura en en $[-2,2]^d$ para $d > 9$.

Answer 4

La Sanguijuela de celosía.

Al menos, en el sentido de que 24 es una de las dimensiones donde sabemos cuál es el más denso entramado embalaje parece. Como de costumbre, Juan Báez pensamientos. Conway y Sloane es una buena referencia.

Answer 5

La bola euclidiana ocupa más espacio en la dimensión 5.

$V = {15} \frac {8 \pi^2} R ^ 5 \approx 5.26\ldots R ^ 5$