Esta no es una respuesta completa a su pregunta, sino más bien un argumento que debe demostrar que la propiedad de ser cociente denso, parece haber muy pocos que ver con la densidad total de $S$.
Especialmente, me encontré con dos contraejemplos a mi ex conjetura (ver los comentarios a tu pregunta) que $S=\{s_n\mid n\in\Bbb N\}$ cociente es denso si y sólo si el siempre creciente número de secuencia $s_n$ es sub-exponencial. Uno de ellos es otro contraejemplo a su propia conjetura, pero de otro tipo como la que se indica en los comentarios.
$s_n$ es sub-exponencial, sino $S$ no es cociente-denso
Esto no cociente denso conjunto de $S$ es generado por una secuencia $s_n<7n$, obviamente sub-exponencial. Para escribir el conjunto muy bien, voy a escribir $[a,b]_\Bbb N$ para el rango de números naturales de$a$$b$, por ejemplo, $[1,6]_\Bbb N$ es corto para $1,2,3,4,5,6$. Ahora podemos definir
$$S=\{[a_0,b_0]_\Bbb N,\;[a_1,b_1]_\Bbb N,\;[a_2,b_2]_\Bbb N,\;...\}$$
con $a_0=b_0=1$ y de forma recursiva $a_i=3b_{i-1}$$b_i=\lfloor 3/2\cdot a_i \rfloor$. La siguiente imagen muestra la generación de la secuencia de $s_n$ $n\approx 80$ junto con la envolvente lineal de la función (en gris).
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Queda por demostrar que esta secuencia está delimitado por $7n$ $S$ no es cociente-denso. La anterior afirmación no es difícil de demostrar, pero es molesto para hacerlo muy bien (he probado). Así que, voy a mostrar sólo el segundo de ellos:
Tenga en cuenta que $a_0=b_0<a_1<b_1<a_2<b_2<\cdots$. Vamos a ver que ningún número racional $x\in(1/3,2/3)$ puede ser expresada por los cocientes $p,q\in S$. Vamos a decir $p\in[a_i,b_i]_\Bbb N$$q\in[a_j,b_j]_\Bbb N$. Porque queremos construir un racional $<1$, podemos suponer $i\leq j$. En el primero asuma $i<j$. Entonces
$$\frac pq\leq\frac {b_i}{a_j}\leq\frac{b_{j-1}}{a_j}=\frac{b_{j-1}}{3b_{j-1}}=\frac13.$$
En el otro caso, $i=j$ hemos
$$\frac pq\geq\frac {a_i}{b_i}=\frac {a_i}{\lfloor 3/2\cdot a_i\rfloor}\geq\frac {a_i}{3/2\cdot a_i}=\frac23.$$
Así que realmente tenemos esta brecha $(1/3, 2/3)$ que no podemos llenar.
$s_n$ está creciendo de manera exponencial, sino $S$ es el cociente densa
En la primera nota que es suficiente para mostrar que cualquier número en $[0,1]$ puede ser aproximada por $s_n/s_m$. Porque, dado un número $x>1$, por el contrario, podemos aproximar $1/x\in(0,1)$ por una secuencia $s_{n(i)}/s_{m(i)}$ y, a continuación, convertir esto a través de intercambio de numerador y denominador de la secuencia de $s_{m(i)}/s_{n(i)}$ que converge a $x$.
Elija una enumeración $p_i/q_i,i=1,2,3,...$ de todos los números racionales en $(0,1)$. Si todos estos números son representables de $S$, entonces todos los de $[0,1]$ puede ser aproximada. Ahora elija $s_1=1$ (nos saltamos $s_0$ sin motivo real) y definir de forma recursiva
$$s_{2i}=2p_i \cdot s_{2i-1},\qquad s_{2i+1}=2q_i \cdot s_{2i-1}.$$
Tenga en cuenta que debido a $p_i<q_i$, que en realidad ha $s_{2i}<s_{2i+1}$. Ahora tenemos $s_{2i}/s_{2i+1}=p_i/q_i$, por lo tanto todos los números racionales en $(0,1)$ puede ser generado a partir de esta secuencia. Tenemos que mostrar que la secuencia está creciendo de manera exponencial, pero esto es fácil:
$$s_{2i+1}=2q_i\cdot s_{2i-1}\geq 2s_{2i-1}$$
que es un aumento exponencial de la sub-secuencia. Y debido a que $s_{2i+1}=s_{n(i)}$ con linealmente crecientes $n(i)$, esto es suficiente para implicar que $s_n$ crece de manera exponencial.
Moraleja de la historia
Si quieres un buen caracterización de cociente densos conjuntos, usted no debe mirar en propiedades como la densidad. Esto implica que su conjetura en $\sum_n s_n<\infty$ y mi conjetura acerca de sub-exponencial de crecimiento.
Actualización
En realidad, cualquier arbitrariamente disperso conjunto de $S=\{s_n\mid n\in\Bbb N\}$ puede ser hecho cociente densa a la mayoría de los "duplicando su densidad". Tomar una enumeración de los racionales $p_n/q_n$ anterior. Luego tenemos este nuevo quotent-denso conjunto de
$$S':=\{p_ns_n\mid n\in\Bbb N\}\cup\{q_n s_n\mid n\in\Bbb N\}.$$
Este nuevo conjunto de "denso" grupos de dos elementos y grandes diferencias entre estos grupos. Por lo que parece tener más que ver con la agrupación local de la estructura global.
