¿Por qué $ a_n = \frac {a_{n-1} + \frac {2}{a_{n-1}}}{2}$ convergen a un número irracional?

Question

Hay un problema en mi libro de texto que va de esta

$$ a_n = \frac {a_{n-1} + \frac {2}{a_{n-1}}}{2}$$

y

$$a_0 =1$$

para todos los $n\ge1$.

Es monótonamente decreciente de la secuencia de los números racionales y delimitada a continuación. Sin embargo, no puede converger a un número racional.

A continuación, la tarea es encontrar el límite. El problema en sí es fácil, pero lo que no entiendo es cómo el autor juzgó el límite de ser irracional, incluso antes de resolver la pregunta? Es allí cualquier propiedad o hizo que acaba de saber la respuesta de antemano?

Answer 1

Sí, que el autor conocía la respuesta de antemano, yo diría que mucho tiempo antes.

Porque esto es sólo un ejemplo de los babilonios método para calcular raíces cuadradas, más tarde, se descubrió que un caso particular de Newton método iterativo para la resolución de ecuaciones no lineales.

Así que con los ojos cerrados, esta secuencia converge a $\sqrt2$. Usted puede comprobar fácilmente que asumir la convergencia, por lo que el $a_{n-1}$ $a_n$ llegan a ser imperceptibles, y

$$a=\frac{a+\dfrac2a}{2}$$ or $$a^2=2.$$ As the initial value is $1$, todos los términos son positivos y la convergencia es el positivo de la raíz (si hay convergencia, aunque).

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Hay una manera simple de explicar este método, también conocido como fórmula de Herón.

Deje $s$ ser el número de la que desea extraer la raíz, y deje $a$ ser una aproximación por defecto. Entonces $$a<\sqrt s\implies a':=\frac sa>\sqrt s$$ so that $\dfrac sa$ es otra aproximación por exceso. Ahora bien, si tomamos la media aritmética, se obtiene una nueva aproximación que está más cerca que el peor de los dos,

$$a''=\frac{a+a'}2=\frac{a+\dfrac sa}{2}.$$

Como puede observarse, cuando usted está cerca de la raíz, la secuencia converge muy rápidamente.

Por ejemplo,

$$a=\color{green}{1.41}\implies a'=\color{green}{1.41}84397163121\cdots\implies a''=\color{green}{1.41421}9858156\cdots$ $ , mientras que el valor real es de $$\sqrt2=1.4142135623731\cdots$$

La siguiente iteración da $11$ exacto dígitos.

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Una nota sobre la convergencia, para la skepticals (el método que ha estado en uso durante al menos dos milenios).

Deje $$x_n:=\frac{a_n}{\sqrt s}.$$

Tenemos

$$\frac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}+1}=\frac{x_n+\dfrac1{x_n}-2}{x_n+\dfrac1{x_n}+2}=\frac{(x_n-1)^2}{(x_n+1)^2}$$ y por inducción

$$\frac{x_n-1}{x_n+1}=\left(\frac{x_0-1}{x_0+1}\right)^{2^n}.$$

Esta es una fórmula exacta para el $n^{th}$ recorrer, lo que demuestra la convergencia de cualquier $x_0$ tal que

$$\left|\frac{x_0-1}{x_0+1}\right|<1.$$

Esto es válido para todas positivas $x_0$.

De paso, esto también demuestra convergencia cuadrática, es decir, el error relativo se eleva al cuadrado en cada iteración.

Answer 2

Supongamos que $f(x)=x^2-2$ así que las raíces son $\pm \sqrt2$ ahora uso Newton método $$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ $ para que tenga $$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n}\\=\frac{\frac{2x_n^2-x_n^2+2}{x_n}}{2}\\=\frac{x_n+\frac{2}{x_n}}{2}$$ now take $ x_n \to a_n$ así que $$a_n = \frac {a_{n-1} + \frac {2}{a_{n-1}}}{2}$$ and note $ a_n $ tends to $\sqrt 2, si \space a_1 > 0$ , tends to $-\sqrt 2, si \space a_1 < 0 $ por iteración.
$\bf remark:$ Hay alguna ecuación que trabajo con números racionales y finalmente irracional... por ejemplo: $\sum _{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\\\text{sum of rationals = irrational}$

Answer 3

Reescribir la $$a_n = \frac {a_{n-1} + \frac {2}{a_{n-1}}}{2}$$ as $$a_n=a_{n-1}-\frac 12a_{n-1}+\frac 1{a_{n-1}}=a_{n-1}-\frac{a^2_{n-1}-2 }{2a_{n-1}}$$ and recognize the Newton formula for the solution of $x ^ 2-2 = 0$.

Answer 4

Porque si $a$ es el límite de $a^2=2$, que % de da $a=\sqrt2$, que es un número irracional.

$$a_{n}-\sqrt2=\frac{(a_{n-1}-\sqrt2)^2}{2a_{n-1}}>0$ $ y $$a_n-a_{n-1}=\frac{1}{a_{n-1}}-\frac{a_{n-1}}{2}=\frac{2-a_{n-1}^2}{2a_{n-1}}<0,$ $ que da nuestra secuencia converge.