¿Es el infinito "más grande" que el 1?

Question

Si el infinito no es un número, ¿cómo puede ser mayor que cualquier número? Un número es una posición en la recta numérica. Un número mayor es la posición más lejana en la recta numérica. El infinito no está en la recta numérica. Entiendo la definición del "sistema numérico real extendido", pero no responde realmente a cómo se puede poner el infinito en relación con un número, como "más grande", aparte de ser completamente arbitrario sin suficiente lógica. Por último, la definición basada en las secuencias de Cauchy también es cuestionable, ya que dichas secuencias son seriamente cuestionadas por personas como Norman Wildberger, un profesor canadiense de matemáticas de la Universidad de Nueva Gales del Sur, Australia.

Entonces, ¿cuál es el consenso en este foro, es el infinito mayor que 1?

Answer 1

Permíteme ser muy claro aquí, porque hay una sutileza que has pasado por alto:

El infinito no es un real número.

Infinito es un número, en otros contextos. Por ejemplo, en los Números Reales Extendidos, es un número. Este conjunto tiene una enorme importancia para temas como la teoría de la medida y la teoría de la integración. En los ordinales o en los cardinales (muy utilizados en la teoría de conjuntos), el infinito no es sólo un número, sino todo un rango de números.

Y sí, en todos estos sistemas, el infinito es mayor que uno.

Answer 2

Voy a intentar aclarar tus confusiones, ya que no eres el único que las tiene.

¿Qué es un número?

Sorprendentemente, se puede cursar una educación matemática completa y no encontrar ni una sola vez una definición de "número". Lo que se define es "conjunto" y "elemento de un conjunto". Estas cosas están definidas axiomáticamente por ZFC (aunque hay alternativas)

Algunos conjuntos tienen nombres comunes, por ejemplo los números naturales ( $\mathbb{N}$ ), los números reales ( $\mathbb{R}$ ), los números complejos ( $\mathbb{C}$ ), los números hiperreales ( $*\mathbb{R}$ ), etc. Cualquier elemento de un conjunto de este tipo se llama comúnmente número. No se trata de una definición matemática, sino de un nombre común.

Sin embargo, el conjunto de los números reales está bien definido y, por tanto, también lo está el término "número real" (un elemento de ese conjunto). Lo mismo ocurre con los otros ejemplos que he dado.

¿Qué es una relación?

Una vez que tenemos conjuntos, les ponemos estructuras, información extra sobre los conjuntos. Las relaciones de orden son un ejemplo de este tipo de estructuras, al igual que una operación como la suma, o un concepto de distancia como una métrica.

La definición general de una relación se puede encontrar aquí y como puedes ver, la idea es la siguiente. Si quiero definir una relación $R$ en un conjunto $S$ Sólo tengo que decir qué elementos de $S$ están en relación entre sí, por lo que para cada par $(a,b)$ Yo elijo si están o no en relación con los demás. En caso afirmativo, decimos $(a,b)\in R$ , de lo contrario decimos $(a,b)\notin R$ . En otras palabras, una relación sobre $S$ es sólo un subconjunto de $S \times S$

Un caso especial de este concepto es un relación de orden parcial . Aquí ponemos exigencias adicionales a esta relación. Exigimos 3 propiedades:

• $\forall a \in $ S $: (a,a) \in R$
• $(a,b)\in R \text{ and } (b,a)\in R \implies a = b$
• $(a,b)\in R \text{ and } (b,c)\in R \implies (a,c)\in R$

No todas las relaciones tienen estas propiedades, pero algunas sí y las llamamos relaciones de orden parcial. Un conjunto con una relación de orden parcial sobre él se llama conjunto parcialmente ordenado o poset. Podemos comprobar que $\mathbb{R}$ junto con " $\leq$ " es un poset. Incluso hace que sea un toset que podemos pensar intuitivamente como una línea.

Ahora para el infinito

Hay muchos conjuntos que contienen un elemento que llamamos infinito, pero voy a ver sólo un ejemplo: los números reales extendidos $\bar{\mathbb{R}}$ . ¿Qué es esta cosa?

Bueno, empezamos con el conjunto $\mathbb{R}$ y otro conjunto con 2 elementos que no están en $\mathbb{R}$ . Estos elementos aún no tienen una función especial, pero los llamaremos $\infty$ y $-\infty$ . Ahora definimos el conjunto $\bar{\mathbb{R}}$ a ser: $$\bar{\mathbb{R}} = \mathbb{R}\cup \{\infty,-\infty\}$$

Ahora ponemos en este conjunto una relación " $\leq^*$ ". Decimos que $(a,b)\in \bar{\mathbb{R}}\times \bar{\mathbb{R}}$ está en la relación " $\leq^*$ " si y sólo si: $$(a,b\in\mathbb{R}\text{ and } a\leq b)\text{ or } a = -\infty \text{ or } b = \infty$$ Podemos comprobar de nuevo que esto hace que $\bar{\mathbb{R}}$ junto con la relación " $\leq^*$ " un poset. (de nuevo incluso un toset)

La respuesta a la pregunta

$\infty$ no es un número real como $\infty \notin \mathbb{R}$ , pero podemos llamarlo número porque es un elemento de los números reales extendidos $\bar{\mathbb{R}}$ .

No podemos decir que es mayor que cualquier número real utilizando " $\leq$ ", pero podemos decir que es mayor que cualquier número real utilizando " $\leq^*$ ".

Así que al final todo se reduce a definiciones. Podrías objetar y decir que el concepto de infinito ya existía antes de estas definiciones, y tienes razón. Estas definiciones sólo constituyen un modelo matemático para que podamos ser precisos al respecto, para que sepamos que todos estamos hablando de lo mismo y para que podamos responder a las preguntas sobre él con certeza.

Answer 3

No me queda claro cuál es su objeción. El sistema de números reales extendido se define como los números reales más los dos símbolos $+\infty$ y $-\infty$ la relación $<$ en este sistema es definido para que $-\infty < x$ y $x < \infty$ para los números reales $x$ .

Answer 4

En los números reales extendidos, uno DEFINE el infinito teniendo las relaciones de orden $ -\infty < x < \infty $ $\forall x \in \mathbb{R}$

Answer 5

En el contexto de ultrafinitismo no sólo no existe el infinito, sino que conjuntos infinitos como el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ tampoco existen. Wildberger ha enfatizado su apoyo a esta visión en muchas de sus videoconferencias. Esta visión es mucho más radical que el finitismo. No es una buena idea, por un lado, adoptar los puntos de vista de Wilderger y, a partir de ahí, cuestionar la forma en que los matemáticos convencionales trabajan con el infinito, ya que en el marco de Wildberger no existe el infinito en primer lugar. Hay que trabajar dentro de un marco bien definido, así que hay que aceptar el punto de vista convencional o trabajar dentro de un marco ultrafinitista bien definido. En el primer caso, no hay ningún problema, como se señala en las otras respuestas.