Problema de Atiyah-Macdonald 3.8

Question

Estoy atascado en el último paso de este problema:

Dejemos que $S,T$ sean subconjuntos cerrados multiplicativamente de un anillo conmutativo $A$ tal que $S\subset T$ . Sea $\phi:S^{-1}A\rightarrow T^{-1}A$ sea el homomorfismo que mapea cada $a/s\in S^{-1}A$ en $a/s$ considerado como un elemento de $T^{-1}A$ .

Quiero mostrar v) $\Rightarrow$ i) donde

v) Todo ideal primo que cumple $T$ también se reúne $S$ .

i) $\phi$ es biyectiva.

Mi enfoque: Sabemos que el conjunto de divisores de cero $Z$ en $A$ es una unión de ideales primos. Entonces, $$x/s\in\ker(\phi)\Leftrightarrow 0_{T^{-1}A}=\phi(x/s)=x/s$$ por lo que para cada $t\in T$ existe un $t'\in T$ con, $$x/s=0/t\Leftrightarrow t'(xt-0s)=0\Leftrightarrow t'tx=0$$ así que ahora lo divido en dos casos:

a) Si $T\cap Z=\emptyset$ y como $tt'\in T$ debe ser $x=0$ así que $x/s=0$ .

b) Si $T\cap Z\neq\emptyset\Rightarrow S\cap Z\neq\emptyset$ pero no sé cómo utilizarlo para demostrar que $x/s=0$ .

Answer 1

Inyectabilidad: $a/s=0/1$ en $T^{-1}A$ si $\exists\ t\in T$ tal que $ta=0$ . Queremos demostrar que $a/s=0/1$ en $S^{-1}A$ Es decir, hay $s'\in S$ tal que $s'a=0$ . Si no, entonces $\operatorname{Ann}(a)\cap S=\emptyset$ y que $P$ sea un ideal primo de $A$ tal que $P\supseteq\operatorname{Ann}(a)$ y $P\cap S=\emptyset$ . Pero $t\in P\cap T$ una contradicción.

Surjetividad: para $t\in T$ hay $a\in A$ tal que $at\in S$ . Por lo demás, $Rt\cap S=\emptyset$ y por tanto existe un ideal primo $P\supseteq RT$ tal que $P\cap S=\emptyset$ . Pero entonces $P\cap T=\emptyset$ una contradicción.

Answer 2

Me pregunto si esto se puede hacer "sin elementos" mediante flechas universales. De hecho, la flecha $\phi$ es sólo la flecha dada por la propiedad universal, ya que $S\subseteq T$ . Entonces, dado cualquier primo $\mathfrak{p}$ tal que $\mathfrak{p}\cap S=\varnothing$ y por lo tanto $\mathfrak{p}\cap T=\varnothing$ , considere la parte multiplicativa $Q=A-\mathfrak{p}$ y $\bar{Q}$ su imagen en el interior $S^{-1}A$ por el ejercicio 3.3 sabemos que $$Q^{-1}A=(SQ)^{-1}A\cong\bar{Q}^{-1}S^{-1}A=(S^{-1}A)_\mathfrak{p}$$ Lo mismo ocurre con $Q$ y $T$ : $$Q^{-1}A=(TQ)^{-1}A\cong\bar{Q}^{-1}T^{-1}A=(T^{-1}A)_\mathfrak{p}$$ Y los isomorfismos son las flechas canónicas. Así obtenemos que $$(S^{-1}A)_\mathfrak{p}\cong (T^{-1}A)_\mathfrak{p}$$ A través de las flechas canónicas. La flecha es la inducida por $\phi$ localizando, y siendo localmente mono/epi en cada primo debe serlo a nivel global, así $\phi$ es una iso.