Un topológica de la función con sólo extraíble discontinuidades

Question

He publicado similar preguntas aquí y aquí, pero nadie ha contestado a mi satisfacción.

Supongamos que $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es tal que $\lim_{y\to x}f(y)$ existe para todas las $x$, $f$ tiene sólo extraíble discontinuidades. Entonces yo reclamo la función de $g: x\mapsto \lim_{y\to x}f(y)$ es continua (véase el primer enlace de arriba para una prueba).

Me preguntaba cómo podríamos extender a una función de $f:X \to Y$ donde $X$ $Y$ son espacios topológicos. Supongamos que además de los existentes, $\lim_{y \to x}f(y)$ es único para todos los $x$. (O si asumimos $Y$ es Hausdorff, obtenemos que para libre.) Es $g:x\mapsto \lim_{y\to x}f(y)$ continua? He aquí un resultado parcial que me he metido:

La proposición: Supongamos $f$ es como el anterior, y $Y$ tiene la siguiente propiedad:

$$\tag{1} \text{For every open set $V$ and every point $s\in V$, there }\\ \text{ exists a neighborhood $U$ of $s$ such that $\overline{U}\subseteq V$.}$$

A continuación, $g$ es continua.

Prueba: Vamos a $V$ ser abierta en $Y$, y deje $x\in g^{-1}(V)$. Tome $U \ni g(x)$ anterior. A continuación, la definición de $g$ implica que existe un vecindario $\mathcal{N}$ $x$ tal que $f(\mathcal{N} \setminus \{x\})\subseteq U$. Ahora $\lim_{z\to \xi}f(z)$ debe estar en $\overline{U}$ todos los $\xi \in \mathcal{N}$, lo $g(\mathcal{N})\subseteq \overline{U}\subseteq V.\quad \blacksquare$

¿Cuáles son los tipos más sencillas de espacios topológicos que tienen la propiedad $(1)$? Se puede hacer con un supuesto más débil?

Answer 1

Tenga en cuenta que la propiedad $(1)$ es sólo equivalente a la regularidad, así que sabemos ya muchos ejemplos de espacios para que la proposición tiene.

Answer 2

Si usted requiere el límite para ser únicos (como usted dijo, como si asumimos $Y$ a ser Hausdorff), a continuación, $g$ debe ser continua.

En primer lugar, la función de $g$ es definido en todas partes, desde el límite de $f$ existe y es único en todas partes. Ahora usted tiene que demostrar que el límite de $g$ exitst (y es única, sino que implica la Hausdorff supuesto) y que coincide con el valor de la función. Bien, supongamos que el límite no existe en un punto de $x_0$. A continuación,

$$\exists V\subset Y\ \text{ s.t. }\ g(x_0)\in V, \text{ and }\, \forall U\subset X \,\, \exists y_U\in U \,\, \text{s.t. } g(y_U)\notin V\tag{1}$$

Para fijar ideas, si $X,Y$ también fueron métrica espacios, esto significaría

$$ \exists \varepsilon>0 \text{ s.t. } \forall \delta>0\ \exists x\varepsilon \,\text{ s.t. }\, |x\varepsilon-x_0|<\delta, |g(x\varepsilon)-g(x_0)|>\varepsilon. $$

Dado este conjunto $V$, por definición de límite (y la definición de $g$), no es $U\subset X$ s.t. $\forall x\in U$, $f(x)\in V$. Sin embargo, por (1), es: $y_U\in U$ s.t. $g(y_U)\notin V$. Hay dos escenarios: $g(y_U)\notin \partial V$$g(y_U)\in \partial V$.

1) Si $g(y_U)\notin \partial V$, $g(y_U)\in (\overline{V})^c$ y, por definición, de $g$ como límite de $f$, $\exists U_y\subset U$ tal que $y_U\in U_y$$f(x)\notin V\ \forall x\in U_y$, lo que contradice el hecho de que $\lim_{x\to x_0} f(x)$ existe.

2) Si $g(y_U)\in\partial V$, entonces considere el $W\subset V$ tal que $g(y_U)\notin \overline{W}$ (creo que esto es posible, debido a que $Y$ es Hausdorff, pero es posible que desee para corroborar esta suposición). Entonces, por definición de límite en$x_0$, $Z\subset U$ tal que $\forall x\in Z, f(x)\in W$. Por otro lado, debido a (1), tenemos que no es $y_W\in Z$ tal que $g(y_W)\notin V$, y por lo tanto $g(y_W)\notin \overline{W}$. Por lo tanto, podemos usar la parte 1) para concluir.

Por el mismo argumento, creo que usted debe ser capaz de demostrar que el límite de $x\to x_0$ $g$ se $g(x_0)$.

Edit: la prueba fue correcta sólo si $g(y_U)\notin \bar{V}$. He añadido una prueba para el caso de $g(y_U)\in\partial V$.