ciertas pruebas de la irracionalidad de $\sqrt{2}$

Question

Tenía la impresión de que podría haber pruebas de la irracionalidad de $\sqrt{2}$ que demostró que $$ \left|\frac a b - \sqrt{2} \right| \ge (\text{something possibly depending on $ a $ or $ b $}) >0 $$ donde $a,b\in\mathbb{Z}$ . Pero la que vi en el artículo de Wikipedia sobre la raíz cuadrada de $2$ habló de si la multiplicidad de $2$ como factor de $a$ ou $b$ es par o impar, y eso hace que no parezca tan diferente de la prueba anticuada que todos aprendimos en la infancia (ya sabes, en el 500 a.C. cuando éramos niños). ¿Existe una prueba corta y sencilla de ese tipo a la que no se aplique esta última crítica?

Answer 1

Puede que te guste la prueba geométrica publicada aquí: http://blog.plover.com/math/sqrt-2-new.html

Creo que se puede convertir en la forma que has presentado.

Editar: 20 pruebas de la irracionalidad de $\sqrt{2}$ se puede encontrar aquí pero ninguno con la forma exacta que mencionas.

Answer 2

Puede utilizarlo si $a^2=2b^2$ entonces $(2b-a)^2=2(a-b)^2$ para demostrar que si $\frac ab $ es una raíz cuadrada de 2 entonces también lo es $\frac {2b-a}{a-b}$ . Así que no hay una fracción con el menor denominador.

También si $\frac ab$ es una aproximación a $\sqrt 2$ entonces $\frac {a+2b}{a+b}$ es en general mejor, que puede ser lo que usted está recordando.

Si $$2-\frac{a^2}{b^2}=\epsilon$$ entonces

$$\frac{(a+2b)^2}{(a+b)^2}-2 = \frac{2b^2-a^2}{(a+b)^2}=\epsilon \left(\frac b{a+b}\right)^2$$

Answer 3

Sugerencia: $|\sqrt2 - \frac{a}{b}| > \frac{1}{3b^2}$ para todos racional $a/b$

Opp, lo siento, creo que no hay una prueba de la racionalidad de $\sqrt2$ que utiliza la desigualdad. Vi 5,6 pruebas de la racionalidad de la $\sqrt2$ en el primer día de mi clase, pero la mayoría de las pruebas están en el artículo que Nbubis publicado, y que esta desigualdad anterior al día siguiente, es el estudio de cómo de bien racionales, irracionales y trascendental números son aproximados.

PS: Una linda prueba para la racionalidad de la $\sqrt{2}$ es utilizar el teorema fundamental de la aritmética, es decir: todo número entero puede ser un factor en el producto de números primos. Para un cuadrado, cada primer aparecerá un número par de veces. $a^2 = 2 b^2$ El primer $2$ aparece incluso a veces por la derecha y tiempos extraños para los lados izquierdo, contradicción.