Encontrar todos los submódulos de los módulos G

Question

Sean V; W módulos G irreducibles que no son isomorfos entre sí. Cómo demostrar que los únicos submódulos G de M:= $V \oplus W$ que no sean $0$ y la propia M, son $V = V \oplus 0$ y $W = 0 \oplus W.$

Answer 1

Sea $R$ sea un anillo cualquiera, y sea $M$ sea cualquier izquierda semisimple $R$ -módulo. Sea $\{S_i\}_{i \in I}$ sea un conjunto de representantes de las clases de isomorfismo de izquierda simple $R$ -módulos. Para cada $i \in I$ , dejemos que $M_i$ sea la suma directa de todos los submódulos simples isomorfos a $S_i$ El $\bf{S_i}$ -componente isotípico de M . Es evidente que $M = \bigoplus_{i \in I} M_i$ : este es el descomposición isotípica de $M$ . Nótese que no se ha hecho ninguna elección: esta descomposición es única.

(Lo que no es del todo obvio es que el número de copias independientes de $S_i$ en $M_i$ es un invariante bien definido de $M$ . Si $M$ está finitamente generada, esto se deduce del Teorema de Jordan-Holder. En el caso general, véase $\S$ 2.3 de estas notas . Pero esto no es necesario en lo que sigue).

Ahora dejemos que $N$ sea un submódulo de $M$ . Entonces $N_i$ El $S_i$ -componente isotípico de $N$ es $N \cap M_i$ ambos son la suma directa de todos los submódulos simples de $N$ isomorfo de $S_i$ .

En el caso de que $M = S_1 \oplus S_2$ es una suma directa de dos módulos simples no isomorfos, obtenemos inmediatamente que $N = (S_1 \cap N) \oplus (S_2 \cap N)$ . Desde $S_1$ y $S_2$ tienen cada uno exactamente dos submódulos, esto demuestra que los submódulos obvios $0$ , $S_1 \oplus 0$ , $S_2 \oplus 0$ , $S_1 \oplus S_2$ son de hecho los cuatro únicos submódulos de $M$ .

Existe una generalización evidente a los módulos semisimples cada uno de cuyos componentes isotípicos es simple.

Answer 2

El énfasis de Pete en los componentes isotípicos es una idea mucho mejor a largo plazo. Aquí está la "otra" prueba, como referencia.

Supongamos que $M$ es una suma directa de dos módulos simples $V$ y $W$ .

$N \cap V$ es un submódulo de $V$ así que o es $V$ y $V \leq N$ o es $0$ y así $N+V$ es una suma directa. En el primer caso, consideremos $N/V \leq M/V \cong W$ . Desde $W$ es simple, o bien $N=M$ o $N=V$ . En el segundo caso $(N \oplus V)/V \leq M/V \cong W$ un módulo simple, por lo que $N \oplus V = V$ (así $N=0$ ) o $N \oplus V = M$ .

En este último caso, $N \oplus V=M$ debemos considerar $N \cap W$ también. Como antes, obtenemos uno de $N=0$ (no), $N=M$ (no), o $N=W$ (sí, pero también consideramos la última), o $N\oplus W=M$ .

En este último caso del último caso, obtenemos que $N \oplus V = N \oplus W = V \oplus W$ y cotizando ambos lados por $N$ obtenemos $V \cong W$ .

Por lo tanto, las únicas posibilidades son: $N=0$ , $N=V$ , $N=W$ , $N=M$ o $N \cong V \cong W$ .

Answer 3

Supongamos que V,W son módulos G irreducibles. Definir M para ser la suma directa de V y W. Un submódulo de M tiene la forma de un submódulo de V suma directa un submódulo de W. Por los supuestos que V y W son irreducibles sólo hay dos opciones para cada uno de V y W para lo que esos submódulos pueden ser.