Definición de espacio medible - álgebra sigma

Question

Un espacio medible es un conjunto $S$ junto con una colección no vacía, $\mathcal{S}$ de subconjuntos de $S$ que satisface las dos siguientes condiciones:

1. Para cualquier $A$ , $B$ en la colección de $\mathcal{S}$ el conjunto $A-B$ también está en $\mathcal{S}$

2. Para cualquier $A_1, A_2, ... \in \mathcal{S}$ Su unión está en $\mathcal{S}$ .

Fuente

Es $\mathcal{S}$ ¿un álgebra sigma? La definición de álgebra sigma dice que es una colección de subconjuntos de $X$ cerrado bajo unión contable, complementación, y que contiene el conjunto vacío.

El punto 1. garantiza que contiene el conjunto vacío, el punto 2. afirma que está cerrado bajo unión contable. ¿Pero cómo 1. y 2. implican que es cerrado bajo complemento? ¿Cómo demostrar que $\mathcal{S}$ contiene $S$ también, como debería (porque contiene el conjunto vacío), dado que realmente es una sigma-álgebra?

Answer 1

$\mathcal S$ no es necesariamente un $\sigma$ -Álgebra.

Por ejemplo, dejemos $S=\{1,2,3,4\}$ y que $\mathcal S=\wp(\{1,2,3\}$ ).

Entonces $\mathcal S$ cumple las condiciones, pero $\{1,2,3,4\}\notin\mathcal S$ .

$\mathcal S$ es una de las llamadas $\sigma$ -anillo .

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Otro ejemplo inspirado en el comentario de Samuel y que subraya que hay una diferencia esencial:

Dejemos que $S$ sea un conjunto incontable y que $\mathcal S$ denotan la colección de subconjuntos contables de $S$ .

Nótese que en este caso (a diferencia del anterior) la colección no puede ser identificada como $\sigma$ -en un subconjunto de $S$ .