¿Por qué tiene cada teoría completa propiedad conjunta de inclusión?

Question

Me encontré con una frase en la Página 196 Chang & de Keisler libro de teoría de modelo que no entiendo. Dice: cada teoría completa tiene la articulación incrustar propiedad.

Def. Una teoría $T$ tiene propiedad inclusión conjunta si cada $M,N\models T$ entonces hay un modelo $K\models T$ tal que $M,N$ es isomorphically integrable en $K$.

¿Por qué es cierto? ¿Puede alguien guid yo con esto?

Answer 1

SUGERENCIA: Deje $L$ el idioma de la $T$. Consideran que el nuevo lenguaje de $L'=L\sqcup\{c_a: a\in M\}\sqcup\{d_b: b\in N\}$ obtenido por la adición de nuevas constantes a $L$ correspondiente a los elementos de $M$ $N$ (suponiendo WLOG que $M$ $N$ tienen distintos dominios).

Ahora vamos a $T'$ $L'$- teoría consistente de $T$ junto con la atómica diagrama de $M$ $c_a$s, y la atómica diagrama de $N$ $d_b$s. E. g. si $M\models a_1Ra_2$ a continuación, ponemos "$c_{a_1}Rc_{a_2}$" a $T'$.

Ejercicio: Si $T'$ tiene un modelo de $K$, $M, N$ incrustar en (el reducto de) $K$ (a $L$).

Este es inmediata.

Ejercicio: $T'$ tiene un modelo.

Este utiliza la integridad de la $T$, y la compacidad de la lógica de primer orden. Por compacidad, sólo tenemos que mostrar que cada finito subconjunto de $T'$ tiene un modelo. Pero podemos demostrar que cualquier finito de configuración que ocurren en $M$ también se produce en $N$, ya que este es presenciado por una fórmula existencial.