Después

Question

Tengo esta pregunta en un libro de práctica.

A, B, C y D son $n\times n$ matrices con determinante distinto de cero.

¿$ABCD = I$, entonces el $B^{-1}$ =?

La respuesta a esto era $B^{-1}= CDA$.

¿Cómo llegó a esa respuesta?

Answer 1

$ABCD=I$, $BCD=A^{-1}$, $CD=B^{-1}A^{-1}$, $CDA=B^{-1}$.

Answer 2

$(AB)(CD)=I \Rightarrow (CD)(AB)=I \Rightarrow (CDA)(B)=I \Rightarrow CDA=B^{-1}$.

Edición: Por otra parte, $(A)(BCD)=I \Rightarrow (BCD)(A)=I \Rightarrow (B)(CDA)=I \Rightarrow CDA=B^{-1}$.

Answer 3

Ya que A, B, C, D no cero determinante esto implica que existen sus respectivas inversas.

Es realmente un ejercicio de álgebra de la matriz y multiplicación de matrices particulares.

\begin{align} ABCD &=I\\ AB &=D^{-1}C^{-1}\\ B &=A^{-1}D^{-1}C^{-1}\\ B^{-1} &=CDA \end {Alinee el}

Answer 4

Si $ABCD = I$% y $BCD = A^{-1}$, $BC = A^{-1}D^{-1}$, $B = A^{-1}D^{-1}C^{-1}$, de la que obtenemos $B^{-1} = (A^{-1}D^{-1}C^{-1})^{-1} = CDA$.

Answer 5

Si $ABCD = I$, entonces podríamos encontrar una relación algo cíclica de estas matrices: $ ABCDA = un \Rightarrow BCDA = A ^ {-1} A = I $$ explotando multiplicación de izquierda o derecha, además de esa matriz y la inversa de una matriz puede conmutar en una multiplicación.

Haciendo el mismo truco nos lleva a: $CDAB = I, DABC = I$ también.

$BCDA = B(CDA)=I$ y $CDAB = (CDA)B = I$ le dará la respuesta.