¿Por qué $M\otimes k(\mathfrak{m})=M_\mathfrak{m}/\mathfrak{m}M_\mathfrak{m}$? (De Matsumura, prueba de teorema 4.8.)

Question

Matsumura, el Conmutativa Anillo de la Teoría, la prueba del Teorema 4.8, página 27, dice:

Deje $A$ ser un anillo, $M$ finita $A$-módulo, y $\mathfrak{m}$ un ideal maximal. Si $k(\mathfrak{m})=A_\mathfrak{m}/\mathfrak{m}A_\mathfrak{m}$ es el residuo de campo de $A_\mathfrak{m}$, luego
$$ M\otimes k(\mathfrak{m})=M_\mathfrak{m}/\mathfrak{m}M_\mathfrak{m}. $$

Sé $A_m/mA_m\cong (A/m)_\bar{m}$, pero incluso entonces $$ M\otimes k(m)\cong M\otimes (A/m)_\bar{m}=\cdots? $$

Incluso si $(A/m)_\bar{m}\cong A/m$, entonces no $$ M\otimes k(m)\cong M\otimes A/m\cong M/mM $$ pero ese no es el mismo que $M_m/mM_m$, es?

Answer 1

Esto es válido para cualquier $A$módulo de:

$$ M\otimes_A k(\mathfrak{m})\simeq M\otimes_A (A_{\mathfrak m}\otimes_{A_{\mathfrak m}}k(\mathfrak{m}))\simeq (M\otimes_A A_{\mathfrak m})\otimes_{A_{\mathfrak m}}k(\mathfrak{m})\simeq$$ $$M_{\mathfrak m}\otimes_{A_{\mathfrak m}}k(\mathfrak{m})\simeq M_\mathfrak{m}/\mathfrak{m}M_\mathfrak{m} $$

La primera isomorfismo sigue de $B⊗_BX≃X$ donde $X$ $B$- módulo (ver Matsumura, Fórmula 4, página 267), el segundo se sigue de la asociatividad del producto tensor (o ver Matsumura, Fórmula 10, página 268), mientras que la tercera se utiliza ese $M_S\simeq M\otimes_AA_S$ (ver Matsumura, Teorema 4.4, página 26).

Answer 2

Si $\mathfrak{p}$ es cualquier primer ideal de $A$, tenemos

$$ A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p} \cong \text{Frac}(A/\mathfrak{p}).$$

Vamos a suponer que esto por ahora. En general, hemos

$$M_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}M_\mathfrak{p} = (A_\mathfrak{p} \otimes_A M) / (\mathfrak{p} A_\mathfrak{p} \otimes_A M) = (A_\mathfrak{p} / \mathfrak{p}A_\mathfrak{p})\otimes_A M,$$

donde la segunda igualdad es, por derecho-exactitud de $ -\otimes_A M$. Así que por nuestra suposición de que hemos

$$M_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}M_\mathfrak{p} \cong \text{Frac}(A/\mathfrak{p})\otimes_A M.$$

Si $\mathfrak{p}=\mathfrak{m}$ es máxima, a continuación,$\text{Frac}(A/\mathfrak{m})=\text{Frac}(k(\mathfrak{m})) = k(\mathfrak{m})$, por lo que, de hecho,

$$ M_\mathfrak{m}/\mathfrak{m}M_\mathfrak{m} = k(\mathfrak{m})\otimes_A M.$$

Ahora a $A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p} \cong \text{Frac}(A/\mathfrak{p})$.

Ya que cada elemento no nulo de a $A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$ es invertible, por la característica universal de la localización en el mapa de $A/\mathfrak{\mathfrak{p}} \rightarrow A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_p$ factores a través de un inducida por homomorphism $\text{Frac}(A/\mathfrak{p})\rightarrow A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$, el cual es necesariamente una inyección (de campos). Ahora, cualquier elemento en $A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$ es representado por un elemento $\frac{a}{b}$$A_\mathfrak{p}$,$a\in \mathfrak{p}$$b\notin \mathfrak{p}$. Desde $b\notin \mathfrak{p}$, es distinto de cero en $\text{Frac}(A/\mathfrak{p})$, lo $\frac{a}{b} \in \text{Frac}(A/\mathfrak{p})$, que se asigna a $\frac{a}{b}$$A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$. Esta muestra $\text{Frac}(A/\mathfrak{p}) \rightarrow A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$ es también surjective.