¿Conoce ejemplos de Funciones de clase 2 de Baire que no son funciones de clase 1 de Baire, además de la función indicadora de los racionales y la función indicadora del conjunto de Cantor?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Aquí hay tres ejemplos:
Deje $C$ ser el conjunto de Cantor. Para cada intervalo de $(a,b)$ contigua a $C$, definir $f$ $[a,b]$ por $$ f(x)=\frac{2(x-a)}{b-a}-1, $$ por lo $f$ mapas el intervalo de a $[-1,1]$. De lo contrario, deje $f(x)=0$.
Escribir cada una de las $x\in(0,1)$ en binario: $x=0.a_1a_2a_3\dots$, no termina en una cadena de $1$s, y definir $$f(x)=\limsup_{n\to\infty} \frac{a_1+\dots+a_n}n.$$
Conway base 13 de la función.
Los dos primeros ejemplos provienen de Bruckner del libro Diferenciación de funciones reales. Los tres son ejemplos de funciones que no son derivados, pero tienen el valor intermedio de la propiedad.
La primera es discontinua precisamente en los puntos de $C$, y es "casi" clase de Baire $1$, en el que uno se puede convertir en una clase de Baire $1$ función sólo de la modificación de sus valores (con cuidado) en los extremos de los intervalos contiguos a $C$. Pero si uno hace esto, entonces la función no tiene el valor intermedio de la propiedad.
La segunda función tiene la propiedad de que la imagen de cualquier subinterval de $(0,1)$, no importa lo pequeño que sea, todos los de $(0,1)$. La tercera función es en el mismo espíritu, pero se comporta de manera más drástica: La imagen de cada intervalo abierto es todo de $\mathbb R$.
(He hablado de estos ejemplos recientemente en un curso de análisis, mientras que mirando el problema de cómo caracterizar a las funciones que se derivados.)
Para comprobar que las funciones son, de hecho, en Baire clase en la mayoría de las $2$:
Por ejemplo 1, el uso que el límite de$x^n$$[0,1]$$0$$x<1$$1$$x=1$, para obtener para cada intervalo de $(a,b)$ contigua a $C$ una clase de Baire $1$ función de $f_{[a,b]}$ que es cero en todas partes, excepto en $[a,b]$, donde coincide con $f$. Ahora uso que la suma de un número finito de Baire clase $1$ funciones de Baire clase $1$.
Por ejemplo, 2, hay varias maneras de proceder. Aquí está uno, que creo que no es la óptima, pero va a hacer: Recordar que un limsup es el infimum ( $m$ ) de un supremum (sobre todos los $n>m$), por lo que es suficiente para ver que cada una de las $f_m(x)= \sup_{n>m}g_n$ es clase de Baire $1$, donde $$g_n(x)=\frac{a_1+\dots+a_n}n.$$ The point is that each $g_n$ has finitely many discontinuities, all of which are jump discontinuities. Any such function is Baire class $1$. This would appear to mean that $f_m$ is Baire class $2$, but we are saved by noting $f_m$ is the uniform limit of the $g_n$, $n>m$. (El punto es que cada clase de Baire es cerrado bajo el uniforme de los límites.)
El argumento para el ejemplo 3 es similar. (Tenga en cuenta que esta función es ilimitado.)
Para ver que las funciones no son la clase de Baire $1$: Las funciones en los ejemplos 2 y 3 son discontinuos en todas partes, pero el conjunto de puntos de continuidad de una clase de Baire $1$ función es densa. Por ejemplo, 1, use la extensión de este resultado nos da que, de hecho, si $f$ es clase de Baire $1$, entonces para cualquier conjunto perfecto de $P$, el conjunto de puntos de continuidad de $f\upharpoonright P$ es comeager relativa a $P$. En el ejemplo 1 de esta falla (por diseño) al $P=C$.
Para las propiedades básicas de la clase de Baire $1$ funciones, una referencia útil es Oxtoby del libro Medida de una categoría. Una referencia para el hecho de que clase de Baire $1$ funciones son cerrados bajo el uniforme de los límites pueden ser más difíciles de encontrar; aparece, por ejemplo, en el libro de van Rooij y Schikhof, Un segundo curso sobre funciones reales. Este último también se describe en el ejemplo 2 (ver Ejercicio 9.M).
Para terminar, permítanme incluyen algunos ejemplos que no tienen el valor intermedio de la propiedad. Nota: primero que si $A\subseteq\mathbb R$ $\chi_A$ es su característica (o indicador) de la función, a continuación, $\chi_A$ es continua iff $A=\emptyset$ o $\mathbb R$. Más interesante, $\chi_A$ es clase de Baire $1$ fib $X$ es $F_\sigma$$G_\delta$.
Recordemos que un conjunto es $F_\sigma$ fib es el contable de la unión de conjuntos cerrados, y es $G_\delta$ fib es el contable de la intersección de bloques abiertos. La notación $F_\sigma$ se pronuncia F-sigma. Aquí, la F es cerrado, "cerrado" en francés, y el $\sigma$ es para la somme, francés para "suma", "unión". Del mismo modo, la notación $G_\delta$ representa por G-delta. Aquí, el G es para Gebiet, alemán para el "área", "región" -- barrio --, y el $\delta$ es para Durchschnitt, alemán para "intersección".
Tenga en cuenta que, en particular, abrir conjuntos de ambos: son claramente $G_\delta$, y cualquier intervalo abierto (y por lo tanto, cualquier contables de la unión de intervalos abiertos) es un contable de la unión de intervalos cerrados. De ello se desprende que los conjuntos cerrados son también. En particular, contrariamente a su demanda, la función característica del conjunto de Cantor es la clase de Baire $1$. Más en general, una función de $f$ es clase de Baire $1$ iff la preimagen $f^{-1}(U)$ de cualquier conjunto abierto es $F_\sigma$.
Para el caso más general donde $A$ $F_\sigma$ o $G_\delta$ , $\chi_A$ es clase de Baire $2$. Para cualquier $A$ cual es, pero no tanto, $\chi_A$ es un ejemplo de una correcta clase de Baire $2$ función. Por ejemplo, este es el caso de la $A=\mathbb Q$. De hecho, $\chi_A$ es clase de Baire $2$ fib $A$ es $F_{\sigma\delta}$ $G_{\delta\sigma}$ ($G_{\delta\sigma}$ conjuntos son numerables y sindicatos de $G_\delta$ conjuntos, es decir, contables sindicatos de contables de las intersecciones de bloques abiertos, y $F_{\sigma\delta}$ conjuntos son numerables intersecciones de $F_\sigma$ conjuntos, es decir, contables intersecciones de contables de los sindicatos de conjuntos cerrados).
Más generalmente, $f$ es clase de Baire $2$ fib para cualquier abierto $U$, la $f^{-1}(U)$$G_{\delta\sigma}$. Para más detalles, y una importante generalización de que los caracteriza a cada clase de Baire, véase la sección 24 en Kechris del libro Clásico descriptivo de la teoría de conjuntos.
