Tengo dos preguntas:
¿Cuál es la probabilidad de que otra persona tenga color, dado que tú tienes color?
Notas: - hay cuatro personas en la mesa - no sabemos nada sobre el tipo de color. las cinco cartas podrían estar delante
Si tienes color, ¿cuál es la probabilidad de que alguien tenga un color mejor?
Ambas parecen bastante más complejas que cualquier otro formulario de preguntas de este tipo que haya hecho.
Sólo responderé a la primera pregunta. La probabilidad de que alguien tenga un mejor se puede calcular con métodos similares, pero el cálculo es bastante más complicado.
Supongo que no se refiere a una partida real de Texas hold 'em, en la que habría habido apuestas y retiradas en fases anteriores, lo que haría que la suposición de una distribución uniforme de las manos fuera muy poco realista; así que se trata de una partida ficticia en la que se reparten cinco cartas a la mesa y dos cartas a cada mano, sin apuestas intermedias.
Hay tres posibilidades: Podría haber $3$ , $4$ o $5$ cartas del mismo palo sobre la mesa.
La probabilidad de $5$ cartas del mismo palo sobre la mesa es
$$4\frac{\binom{13}5}{\binom{52}5}=\frac{33}{16660}\approx0.002\;.$$
En este caso, todo el mundo tiene una descarga.
La probabilidad de que exactamente $4$ cartas del mismo palo sobre la mesa es
$$4\frac{\binom{13}4\binom{39}1}{\binom{52}5}=\frac{143}{3332}\approx0.043\;.$$
En este caso, su probabilidad de tener una carta del palo es
$$\frac{\binom91\binom{38}1}{\binom{47}2}=\frac{342}{1081}\approx0.316\;,$$
y
$$\frac{\binom92}{\binom{47}2}=\frac{36}{1081}\approx0.033$$
por dos cartas del palo. Si tienes una carta, la probabilidad de que otra persona tenga al menos una es
$$ 1-\frac{\binom{37}6}{\binom{45}6}=\frac{6299}{8815}\approx0.715\;, $$
mientras que si tiene dos cartas, es
$$ 1-\frac{\binom{38}6}{\binom{45}6}=\frac{23309}{35260}\approx0.661\;. $$
La probabilidad de que exactamente $3$ cartas del mismo palo sobre la mesa es
$$4\frac{\binom{13}3\binom{39}2}{\binom{52}5}=\frac{2717}{8330}\approx0.326\;.$$
En este caso su probabilidad de tener dos cartas del palo es
$$\frac{\binom{10}2}{\binom{47}2}=\frac{45}{1081}\approx0.042\;.$$
La probabilidad de que otra persona tenga también dos cartas del mismo palo es un poco más complicada de calcular. Podemos obtenerla aplicando la principio de inclusión-exclusión :
$$3\frac{\binom82}{\binom{45}2}-3\frac{\binom84}{\binom{45}4}+\frac{\binom86}{\binom{45}6}=\frac{8091}{96965}\approx0.083\;.$$
Para poner todo esto junto, tenemos que dividir la probabilidad de que usted y otra persona tengan color por la probabilidad de que usted tenga color:
$$\frac{\frac{33}{16660}+\frac{143}{3332}\left(\frac{342}{1081}\cdot\frac{6299}{8815}+\frac{36}{1081}\cdot\frac{23309}{35260}\right)+\frac{2717}{8330}\cdot\frac{45}{1081}\cdot\frac{8091}{96965}}{\frac{33}{16660}+\frac{143}{3332}\left(\frac{342}{1081}+\frac{36}{1081}\right)+\frac{2717}{8330}\cdot\frac{45}{1081}}=\frac{145640554}{323494633}\approx0.450$$
( cálculo ). Por lo tanto, la probabilidad de que alguien tenga una descarga si usted tiene una es de aproximadamente $45\%$ . Así lo confirman las simulaciones por ordenador.
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Si se trata de Texas Hold'em, debe indicarlo en la pregunta.
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Depende de cómo se formule la pregunta. Si estamos hablando de Texas Hold'em que supongo que somos. Incluso entonces, ¿qué quieres decir con color? ¿Quieres decir que tienes dos picas y hay tres picas en el tablero? ¿Quieres decir que tienes 1 pica y hay 4 picas en el tablero? Esto hace una gran diferencia. Especialmente para tu segunda pregunta sobre la probabilidad de que alguien tenga una escalera mejor.
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@simplicity, parece que la pregunta está diciendo que todo lo que sabes de tu mano es que es una escalera de color. Así que parece que tendrías que calcular probabilidades separadas para todos los casos de combinaciones de mesa/mano. Parece que serán muchos términos, pero no demasiado complicados.
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Parece el tipo de pregunta que se adapta mejor a la aproximación monte Carlo que al cálculo directo.