Para un determinado % primer impar $p$(con $p \mod 4 = 1$) Tengo que ser divertido yo mismo para agregar cualquier qr y cualquier qnr. El resultado es a veces un qr y a veces un qnr, pero lo que descubrí es que exactamente la mitad de todas las sumas posibles son qr y la otra mitad son qnr. He intentado escribir el qr como $a^{2i}$ (con $a$ una raíz primitiva) y qnr como $a^{2j+1}$ $a^{2i} + a^{2j+1}$ lleva en ninguna parte, es posible demostrar esto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Gracias a Andreas Caranti para la prueba; su eliminados argumento contiene la mayor parte de este argumento. Decidí terminar la prueba para mí, y para evitar tener que tirar mi trabajo me a publicar aquí. @Andreas: Si desea recuperar su respuesta y terminar, me gustaría ser feliz para eliminar esta respuesta.
Deje $F:=\Bbb{Z}/p\Bbb{Z}$, de modo que $F^{\times}$ es cíclico de orden $p-1$. Deje $A$ $B$ denotar los conjuntos de residuos cuadráticos y nonresidues, respectivamente, y corregir algunas $t\in B$, de modo que $$B=tA=\{ta:\ a\in A\}.$$ Deje $a\in A$$b\in B$. Existen $x,y\in F^{\times}$, de modo que $a=x^2$$b=y^2t$, e $x$ $y$ son determinados por $a$ $b$ a firmar. Deje $c:=x^2+y^2t$. En el ring $E:=F[\sqrt{-t}]$ podemos escribir esto como $$c=(x+y\sqrt{-t})(x-y\sqrt{-t}),$$ donde $E\cong F[X]/(X^2+t)$ es un campo de orden de $p^2$ porque $X^2+t$ es irreductible como $-t$ no es un residuo cuadrático; elegimos $t\in B$ y tenemos $-1\in A$ porque $p\equiv1\pmod{4}$, lo $-t\in B$.
De hecho, la identidad anterior muestra que el $c$ es la norma de la $x+y\sqrt{-t}\in E$, donde la norma $$\mathcal{N}:\ E^{\times}\ \longrightarrow\ F^{\times}:\ z\ \longmapsto\ z\cdot z^p,$$ es un grupo homomorphism. De $\sqrt{-t}^p=-\sqrt{-t}$ se sigue que \begin{align} \mathcal{N}(x+y\sqrt{-t}) &=(x+y\sqrt{-t})(x+y\sqrt{-t})^p\\ &=(x+y\sqrt{-t})(x^p+y^p\sqrt{-t}^p)\\ &=(x+y\sqrt{-t})(x-y\sqrt{-t}), \end{align} lo que muestra que $c=\mathcal{N}(x+\sqrt{-t})$. Tenga en cuenta que la norma es surjective porque $$\ker\mathcal{N}=\{z\in E^{\times}:\ z^{p+1}=1\},$$ es un subgrupo de orden $p+1$ de la cíclico grupo $E^{\times}$ orden $p^2-1$, por lo que la imagen de $\mathcal{N}$ es de orden $$\frac{p^2-1}{p+1}=p-1=|F^{\times}|.$$ Ahora ya $\mathcal{N}$ es un grupo homomorphism los elementos de la norma $c$ formar un coset de que el núcleo de $\mathcal{N}$, por lo que, en particular, para cada $c\in F^{\times}$ el número de pares de $x,y\in F$ $\mathcal{N}(x+y\sqrt{-t})=c$ es el mismo. De ello se deduce que el número de pares de $(a,b)\in A\times B$ $a+b=c$ es el mismo para todos los $c$.
Tenga en cuenta que en cada coset de $\ker\mathcal{N}$ $E^{\times}$ no son, precisamente, dos elementos que no corresponden a los pares en $A\times B$; estos son los elementos de la forma$x+y\sqrt{-t}$$xy=0$, es decir, $x=0$ o $y=0$. Porque no son precisamente dos de estos elementos en cada coset, el número de soluciones a $a+b=c$ $(a,b)\in A\times B$ es el mismo para todos los $c\in F^{\times}$; hay $\frac{p-1}{4}$ pares para cada $c\in F^{\times}$.
