La ecuación de Liouville para la curvatura de Gauss nos dice, que cuando la métrica de Riemann tiene la forma $f^2(du^2+dv^2)$, entonces su curvatura de Gauss $K$ es expresada por la siguiente ecuación: $$-Kf^2=\Delta_{0}log(f)$$ donde $\Delta_{0}=\frac{\partial^2 }{\partial u^2}+\frac{\partial^2 }{\partial v^2}$.
Considere una esfera con métrica (debido a la proyección estereográfica): $$\frac{du^2+dv^2}{(1+u^2+v^2)^2}$$ Por lo tanto, podemos aplicar la ecuación de Liouville para encontrar la curvatura de la esfera con $f=\frac{1}{1+u^2+v^2}$.Sin embargo, el cálculo de la curvatura de la esfera de esta manera obtengo $K=4$, lo cual no es cierto. Y yo cann't irregular mi error. Aquí están algunos cálculos: $$log(f)=-log(1+u^2+v^2)$$ $$\frac{\partial^2 }{\partial u^2}log(f)=-\frac{2(1-u^2+v^2)}{(1+u^2+v^2)^2}$$ $$\frac{\partial^2 }{\partial u^2}log(f)=-\frac{2(1+u^2-v^2)}{(1+u^2+v^2)^2}$$ $$\Delta_{0}log(f)=-\frac{2(1-u^2+v^2)}{(1+u^2+v^2)^2}-\frac{2(1+u^2-v^2)}{(1+u^2+v^2)^2}=\frac{-4}{(1+u^2+v^2)^2}$$ Por lo tanto: $$-K\frac{1}{(1+u^2+v^2)^2}=\frac{-4}{(1+u^2+v^2)^2}$$ Por lo tanto la curvatura de Gauss de la esfera es (no): $$K=4$$ Mi pregunta: ¿dónde está el error?
