¿Qué es la descomposición de Bruhat de Grassmannian afín?

Question

Podemos definir los afín Grassmannian a ser el cociente $Gr = GL_n(\mathbb{C}((t)))/GL_n(\mathbb{C}[[t]])$ donde $\mathbb{C}((t))$ es el campo formal de la serie de Laurent y $\mathbb{C}[[t]]$ es el anillo de poder formal de la serie. (El afín Grassmannian puede ser definido de manera más general, pero aquí restringimos a un caso especial.) Si dejamos $B$ ser el Borel subgrupo de triangular superior matrices en $GL_n(\mathbb{C})$, $T$ un toro maximal, entonces el grupo de Weyl $W=N(T)/T$ es sólo $S_n$. Deje $\widetilde{W} = \mathbb{Z}^{n-1} \rtimes W$ denotar el afín grupo de Weyl. A continuación, para $i = 1, 2,...,n-1$ el afín permutaciones en $\widetilde{W}$ corresponden a la costumbre de permutación de matrices en $GL_n(\mathbb{C})$, es decir, la identidad de la matriz con columnas $i$ $i+1$ intercambiados. La matriz para el afín de permutación $s_0$ tiene queridos a lo largo de la diagonal en las filas de la $2, 3, ..., n-1$, $t$ en la esquina de la mano derecha, y $t^{-1}$ en la esquina inferior izquierda. Deje $I$ denotar la Iwahori subgrupo, es decir, la inversa de la imagen de $B$ en la reducción de mapa de $GL_n(\mathbb{C}((t))) \rightarrow GL_n(\mathbb{C})$. A continuación, $I$ es el conjunto de triangular superior matrices de mod $t$. Leí en alguna parte que $GL_n(\mathbb{C}((t)))$ tiene una descomposición

$GL_n(\mathbb{C}((t))) = \cup IwGL_n(\mathbb{C}[[t]])$

donde $w$ varía a través de los afín permutación de matrices. Esta descomposición se supone que para inducir la Bruhat de la descomposición de los afín Grassmannian en Schubert de las células. Ahora, algo está mal. Desde $I \subset GL_n(\mathbb{C}[[t]])$, y el determinante de cualquier afín permutación de la matriz es 1 o -1, tenemos que para cualquier $w \in \widetilde{W}$ el determinante de cualquier matriz en $IwGL_n(\mathbb{C}[[t]])$ tiene el poder determinante de la serie, pero la matriz

$\left(\begin{array}{cc} t^{-1} & 0 \\ 0 & t^{-1} \\ \end{array}\right)$

es en $GL_n(\mathbb{C}((t)))$ con determinante $t^{-2}$ e inversa

$\left(\begin{array}{cc} t & 0 \\ 0 & t \\ \end{array}\right).$

Entonces, mi pregunta es, ¿qué está mal aquí? ¿Cuál es la correcta descomposición y la indexación?

Answer 1

La identificación de los Afín Weyl Grupo con elementos de $ G(\mathbb{C}((t)) $ es malo. Cualquier co-carácter $\lambda:\mathbb{C}^*\to T$ donde $T$ es un elegido máxima toro puede ser considerado como un elemento de $ G(\mathbb{C}((t))) $. Si usted elige $P$ a ser el grupo abelian generado por la dominante coroots (que actúa W) la semi-directo del producto con $W$ es isomorfo a las Afín Grupo de Weyl. Ahora estos elementos, por ejemplo,$t\mapsto (t^n,t^{-n})$, darle la deseada Bruhat de descomposición.

Esto se explica en el papel de Iwahori y Matsumoto: en algunos bruhat descomposición... a partir de la página 24.