$(xyz)_b$ es divisible por $n$ si y sólo si es divisible por $z+3y-4x$ $n$

Question

Determinar todos los números naturales $n > 1$ con la siguiente propiedad: existe una base $b \geq 5$ tal que cualquier tres dígitos número $(xyz)_b$ es divisible por $n$ si y sólo si es divisible por $z+3y-4x$ $n$.

Supongamos que $b$ es una base tan $n$. $xb^2+yb+z \equiv z+3y-4x \pmod{n}$, Que $x(b^2+4)+y(b-3) \equiv 0 \pmod{n}$. ¿Cómo podemos seguir?

Answer 1

Inmediatamente, solo tenemos $$n\mid xb^2+yb+z\iff n\mid z+3y-4x\qquad \text{for }0\le x,y,z\le b-1 y no necesariamente una congruencia en general.

Sin embargo, $1+3\cdot 1-4\cdot1=0$ implica que el $n\mid 111_b=b^2+b+1$. Por un argumento similar, $n\mid 104_b=b^2+4$ (nota que $4$ es un dígito válido), por lo tanto también $n\mid b-3$. Luego también $n\mid (b^2+b+1)-(b-3)(b+4)=13$.

Los candidatos solos son $n=1$ y $n=13$.

$n=1$ trivial tiene la propiedad deseada para cualquier $b$ (pero queda excluida por la declaración del problema).

$n=13$ funciona así si elegimos $b=16$: $(256x+16y+z)-(z+3y-4x)=13\cdot(20x+y)$, incluso tenemos $xyz_{13}\equiv z+3y-4x\pmod{13}$.