Valor promedio para un conjunto de innumerables.

Question

Que $S$ sea una serie incontable de indexadas los números reales. Así el mismo número puede ocurrir más de una vez en el conjunto (aunque con un índice diferente). No supongo que no hay ningún pedido en $S$. ¿Hay una simple condición necesaria y suficiente para $S$ tener una media bien definida?

Considerar que una condición suficiente para que haya que un medio bien definido es si todos sino finito muchos de los números indexados son idénticos. ¿Es esto necesario?

Answer 1

Si hay una medida $\mu$ $\sigma$- álgebra sobre el conjunto de índices $I$ tal que $\mu(I)=1$ y si la función de indización $f\colon I\to S$ es medible, entonces usted puede definir $\operatorname{avg}(S)=\int f d\mu$.

Su caso "de todo, pero un número finito son idénticas" corresponde a cualquier medida para que $\mu(A)=0$ si $A$ es finito. A pesar de que uno podría tener $\mu(\{a\})>0$ para un número finito de índices de $a\in I$, esto no encaja con sus necesidades, para que no se haga el pedido en $S$, lo que he leído a decir que queremos que nuestra medida es invariante bajo arbitraria(?) permutaciones de $I$. En ese caso, $\mu(A)$ debe depender sólo de $|A|$, por lo tanto $\mu(I)=1$ $|I|=\infty$ hace, de hecho, implican $\mu(A)=0$ para todos los conjuntos finitos y, de hecho, incluso para conjuntos contables (porque la unión de dos disjuntas countables es todavía contables). Eso sería hacer todas las funciones medibles que son constantes en el innumerable conjunto de índices en la mayoría de los countably muchas excepciones (y la media es el valor adoptado en el resto inmensa mayoría de posiciones de índice).