¿Son estos exactamente los grupos abelianos?

Question

Estoy pensando en la siguiente condición de un grupo $G$ .

$$(\forall A\subseteq G)(\forall g\in G)(\exists h\in G)\ Ag=hA.$$

Obviamente todo grupo abeliano $G$ satisface esta condición. ¿Existen otros grupos que lo hagan? ¿Podemos dar una caracterización familiar para ellos? ¿Podemos dar una si limitamos las consideraciones a grupos finitos?

Ciertamente, no todos los grupos cumplen la condición. Sea $G$ sea el grupo libre en $\{x,y,z\}.$ Dejemos que $A=\{x,y\}$ y $g=z.$ Entonces $$Ag=\{x,y\}z=\{xz,yz\}.$$ Supongamos que hay $h\in G$ tal que $\{hx,hy\}=hA=\{xz,yz\}.$ Entonces $$\begin{cases}hx=xz\\hy=yz\end{cases}$$

o $$\begin{cases}hx=yz\\hy=xz\end{cases}$$

Del primer caso obtenemos $h=xzx^{-1}$ y $h=yzy^{-1}$ , lo cual es una contradicción. Del segundo caso obtenemos $h=yzx^{-1}$ y $h=xzy^{-1}$ , lo que también es una contradicción.

Answer 1

Supongamos que $G$ satisface su condición. Dejemos que $x,y \in G$ sean elementos distintos de $G$ diferente de $1$ para que los elementos enumerados de todos los conjuntos de esta respuesta sean distintos. Elige $g=x$ y $A=\{1,x,y\}$ Entonces $Ag = hA$ implica

$$ \{ x, xx, yx \} = \{ h, hx, hy \} $$

Caso 1: $x=h$

Entonces $\{ xx,yx \} = \{ xx,xy \}$ y $yx = xy$

Caso 2: $x = hx$

Entonces $h=1$ y $\{ xx, yx \} = \{ 1, y \}$ .

Si $yx = y$ entonces $x=1$ y $xy=yx$ . De lo contrario, $yx=1$ y así $y=x'$ y $xy=1=yx$ .

Caso 3: $x=hy$

Entonces $h=xy'$ y $\{ xx, yx \} = \{xy',xy'x\}$

Si $xx = xy'$ entonces $x=y'$ y por lo tanto $xy=1=yx$ . De lo contrario, $xx = xy'x$ y por lo tanto $1=y'$ , y de nuevo $xy=yx$ .

En todos los casos en que $x,y,1$ son distintos, hemos demostrado $x$ y $y$ conmutar. Así, $G$ es un grupo abeliano.

Answer 2

Supongamos que $ab\ne ba$ . Dejemos que $A=\{1,a\}$ , $g=b$ . Luego está $h\in G$ tal que $\{h,ha\}=\{b,ab\}$ . Esto necesita $h=b\lor h=ab$ . En el primer caso $ha=ba\ne ab$ Así que esto falla. Por lo tanto $h=ab$ y $ha=aba=b$ . De la misma manera, $bab=a$ . Esto implica $aa=abab=bb$ . Concluimos $$a=bab=bbabb=aaaaa, $$ por lo que $a^4=1$ y de manera similar $b^4=1$ .

Ahora toma $A=\{1,a,b\}$ y $g=b$ . Luego está $h\in G$ tal que $\{h,ha,hb\}=\{b,ab,b^2\}$ .

• $h=b$ : Entonces $hb=b^2$ implica $ba=ha=ab$ , contradicción
• $h=ab$ : Entonces $ha=aba=b$ implica $hb=b^2$ es decir $a=1$ y por supuesto $ab=ba$ contradicción.
• $h=b^2=a^2$ : Entonces $ha=a^3=a^{-1}\ne b$ Por lo tanto $ha=ab$ es decir $a^2=b$ y por supuesto $ab=ba$ , contradicción