¿El cierre de un producto es el producto de los cierres?

Question

¿Si $\{X_j:j\in J\}$ es una familia de espacios topológicos y $A_j\subseteq X_j$, es verdad que el $\displaystyle\overline{\Pi_{j\in J}A_j}=\displaystyle{\Pi_{j\in J}\overline{A_j}}$? ¿Hay una manera fácil de probar esto?

Por supuesto, estamos considerando en $\displaystyle{\Pi_{j\in J}X_j}$ la topología producto.

Gracias.

Answer 1

Si $x\in\overline{\prod_J A_j}$, entonces el $x\in\overline{p_j^{-1}[A_j]}\subseteq p^{-1}\left[\overline{A_j}\right]$ % todo $j\in J$, que $x\in\prod_J\overline{A_j}$.

Para la otra inclusión, que $x=(x_j)_J\in\prod_J\overline{A_j}$. Esto es equivalente al $x_j$ $\overline{A_j}$ cada $j\in J$. Consideremos ahora un % básica barrio $U=\prod_J U_j$, donde todas las $U_j$ son los subconjuntos abiertos de $X_j$ y % casi todos son iguales al $U_j$ $X_j$. ¿Puede encontrar un $b=(b_j)_J$ $U\cap\prod_J{A_j}$?