Teorema Fundamental del Cálculo y funciones discontinuas

Question

¿Será útil el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar:

$$y=\int_{0.5}^{1} \left \lfloor t \right \rfloor dt?$$

Las sumas de Riemann hacen que esta evaluación sea fácil. Sin embargo, me gustaría saber cómo (si es posible) puedo usar el teorema para evaluar esta integral definida. Aquí asumí que $y$ es continua en $[0.5,1]$ y diferenciable en $(0,1)$.

Edición: Para ser claro sobre lo que deseo saber, pregunto si podría evaluar la integral definida simplemente tomando la diferencia, $y(1)-y(0.5)$ (segunda parte del Teorema Fundamental del Cálculo), donde $y$ es la antiderivada de $\left \lfloor x\right \rfloor$.

No estoy seguro si se me permite hablar sobre antiderivadas de funciones discontinuas. ¿Se me permite?

Answer 1

Te sugeriría que eches un vistazo a esta respuesta donde he discutido el Teorema Fundamental del Cálculo para funciones que no necesariamente son continuas.

Luego, nota que el integrando aquí tiene una discontinuidad en $x=1$ y en cuanto al intervalo de integración, la discontinuidad es removible, por lo que simplemente la eliminamos cambiando el valor del integrando en $x=1$ a $0$. Hacer esto no tiene impacto en el valor de la integral (porque el valor de una integral de Riemann no depende del valor del integrando en un número finito de puntos en el intervalo considerado) y por lo tanto la integral deseada es igual a $\int_{1/2}^{1}0\,dx=0$.

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En general, si tenemos que evaluar una integral de la forma $\int_{a} ^{b} f(x) \, dx$ donde $f$ tiene un número finito de discontinuidades en $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ en $[a, b] $ con $$a\leq x_{1}\leq x_{2}\leq \dots\leq x_{n} \leq b$$ tal que los límites lateral izquierdo y derecho de $f$ existen en cada punto de discontinuidad entonces dividimos la integral de la siguiente manera $$\int_{a} ^{b} f(x) \, dx=\int_{a} ^{x_{1}}f(x)\,dx+\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,dx+\cdots+\int_{x_{n-1}}^{x_{n}}f(x)\,dx+\int_{x_{n}}^{b}f(x)\,dx$$ Cada integral a la derecha se puede evaluar observando que el integrando tiene una discontinuidad removible en los puntos finales $x_{i}$ y el integrando se puede redefinir en estos puntos para hacerlo continuo en ese intervalo.

Puedes usar esta técnica para evaluar $\int_{1}^{2}[x^{2}]\,dx$ como $$\int_{1}^{2}[x^{2}]\,dx=\int_{1}^{\sqrt{2}}1\,dx+\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}2\,dx+\int_{\sqrt{3}}^{2}3\,dx$$

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También para responder tu pregunta sobre cómo evaluar la integral bajo consideración a través de la segunda parte del teorema fundamental del cálculo, nota que no hay una anti-derivada de $[x] $ en el intervalo $[1/2,1]$ (¿por qué? tal vez debas responder esto por ti mismo, pero avísame si sientes algún problema aquí) y por lo tanto no podemos usar el teorema fundamental del cálculo aquí.

También ten en cuenta que las funciones continuas tienen garantizada una anti-derivada, pero la continuidad no es necesaria. Hay funciones discontinuas que poseen una anti-derivada y si tenemos una función $f$ que es integrable de Riemann en $[a, b] $ y posee una anti-derivada $F$ (nota que la existencia de la anti-derivada no está garantizada y por lo tanto estamos asumiendo su existencia aquí como parte de las hipótesis) tal que $F'(x) =f(x) $ para todo $x\in[a, b] $ entonces tenemos $\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$.

Answer 2

$y$ es continua en $[0.5,1] \implies $

$$\int_{0.5}^1\lfloor t\rfloor dt= \lim_{x\to 1^-}\int_{0.5}^x\lfloor t \rfloor dt =0.$$

Answer 3

Por definición $[x]$ se define como el entero más grande que no excede a $x$, por ejemplo $[\pi]=3$ y $[-1/2]=-1$. La función suelo $x \mapsto [x]$ es continua en el intervalo $[1/2,1)$; por lo tanto, $$\int_{1/2}^1 [x]dx=\lim_{t \to 1^-} \int_{1/2}^t [x]dx.$$ Además, para $1/2\leq x<1$ tenemos que $[x]=0$, por lo tanto, $$\int_{1/2}^1 [x]dx=\lim_{t \to 1^-} \int_{1/2}^t [x]dx=\lim_{t \to 1^-} \int_{1/2}^t 0dx=\lim_{t \to 1^-}0=0$$

Answer 4

Sí se puede hablar sobre las antiderivadas de funciones discontinuas. Pero si una función $f$ tiene una discontinuidad de salto (como la función del mayor entero $[x]$ en cuestión que tiene discontinuidad de salto en los enteros) entonces no posee una antiderivada y, por lo tanto, su integral no puede ser evaluada utilizando la Regla de Leibniz (que es la diferencia entre los valores de la antiderivada en los puntos finales del intervalo).

Existen funciones discontinuas que no tienen discontinuidad de salto y entonces pueden tener antiderivadas. Por ejemplo, la función $f(x) = 2x\sin(1/x)-\cos(1/x), f(0)=0$ es continua en todas partes excepto en $0$. Posee una antiderivada $g(x) = x^{2}\sin(1/x), g(0)=0$ y para todos los números reales $a, b$ tenemos $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = g(b) - g(a)$$ Sin embargo, en casos donde el integrando tiene discontinuidad de salto en el intervalo de integración todavía hay esperanza. Aquí no podemos usar la antiderivada (porque no existe) pero podemos dividir el intervalo de integración en múltiples intervalos a través de los puntos de discontinuidad y evaluar la integral en cada subintervalo y sumar estas integrales para obtener el valor de la integral en el intervalo dado. Dividir el intervalo de integración en múltiples subintervalos tiene la ventaja de que la función tiene discontinuidad solo en los puntos finales y estos son removibles. Entonces la función puede ser modificada en consecuencia en los puntos finales para hacerla continua y la integral evaluada como de costumbre.

Para la pregunta actual, el integrando ya tiene discontinuidad en el punto final del intervalo así que no es necesario dividir el intervalo y la integral se evalúa directamente como $\int_{1/2}^{1}0\,dx=0$.