¿Está relacionada la inexistencia de una fórmula quíntica general con la imposibilidad de construir la mediana geométrica para cinco puntos?

Question

En particular, en el Cálculo en la página de Wikipedia de la mediana geométrica , está esta afirmación:

...pero no se conoce ninguna fórmula de este tipo para la mediana geométrica, y se ha demostrado que no puede existir, en general, ninguna fórmula explícita, ni un algoritmo exacto que implique sólo operaciones aritméticas y k-ésimas raíces.

Al final del mismo párrafo, hay un enlace a esta cita:

Bajaj (1986); Bajaj (1988). Anteriormente, Cockayne y Melzak (1969) demostraron que el punto de Steiner para 5 puntos del plano no se puede construir con regla y compás

Ahora bien, si no recuerdo mal, todos los números construibles pueden representarse con un número finito de sumas/restas, multiplicaciones/divisiones y/o raíces cuadradas de números enteros. Si no es así, creo que al menos están estrechamente relacionados.

De todos modos, la mediana geométrica (punto de Steiner) para dos, tres o cuatro puntos tiene una fórmula o algoritmo finito y exacto conocido, pero se ha demostrado la imposibilidad de dicha fórmula o algoritmo para cinco puntos. Esto me parece notablemente similar a cómo se conocen soluciones finitas, exactas y generales para polinomios de grado 2, 3 o 4, pero para grados 5 y superiores no existen tales fórmulas.

Lo que me hizo preguntarme fue que la mediana geométrica para cinco puntos no se puede construir, y no hay ninguna fórmula quíntica que tenga un número finito de raíces cuadradas, y la constructibilidad y un número finito de raíces cuadradas parecen estar estrechamente relacionados. Por eso me pregunto si hay alguna razón subyacente que explique por qué ambas cosas son imposibles.

Answer 1

El artículo de Cockayne y Melzak (publicado en la revista Mathematics Magazine en 1969) está disponible en JSTOR, aunque desgraciadamente es de pago. Pero lo que demostraron fue que la construcción del punto de Steiner por métodos de regla y compás requiere encontrar las raíces de un polinomio de octavo orden con coeficientes \begin{align} y^8&:1,\\ y^7&:-60a,\\ y^6&:15(90a^2+22b^2+22),\\ y^5&:-15^2(88a+60a^3+44ab^2),\\ y^4&:15^3(15a^4+22a^2 b^2-9b^4+132a^2+60b^2-9),\\ y^3&:15^4(88a^3+120a^2b-36a),\\ y^2&:15^5(22a^4+60a^2b^2+6b^4+6b^2-54a^2),\\ y^1&:15^6\cdot 12a(3a^2-b^2),\\ 1\;&:-15^7(b^2-3a^2)^2,\\ \end{align} donde $a,b$ son números enteros apropiados. Por lo tanto, la situación es, de hecho, uniforme peor que el polinomio quíntico, y no es de extrañar que las raíces de este polinomio quíntico no sean construibles.