Considere la posibilidad de una secuencia finita de ceros y unos de longitud $3n$, $n$ un entero. Escribimos un elemento de esta secuencia como $a_i$. Cuántas secuencias están allí, que existe un entero $k$, $0<k\le n$, tal que $\sum^{3k}_{j=1}a_j=2k$? Aquí es lo que tengo hasta ahora: vamos a $x_n$ ser este número. Nos damos cuenta de que $x_1=\binom{3}{2}=3$, e $x_n=\binom{3n}{2n}-\binom{3}{2}x_{n-1}+2^{3}x_{n-1}=\binom{3n}{2n}+5x_{n-1}$. ¿Cómo puedo encontrar una suma formulario solución a esto? También, ¿esto parece correcto? Tengo este porque $\binom{3n}{2n}$ cuenta el número total de secuencias de satisfacer la condición de $k=n$, $\binom{3}{2}x_{n-1}$ es el número de secuencias satisfactoria para ambos $k=n$$k=n-1$, y el número de secuencias de satisfacciones $k=n-1$ debe $x_{n-1}$, y podemos elegir los tres últimos elementos al azar, por lo que se multiplican por $2^3$.
Respuestas
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La recurrencia de la relación derivada no está bien. No estoy seguro de entender tu explicación de la etimología, pero parece que puede haber confundido el número de secuencias de longitud $3(n-1)$ el cumplimiento de la condición para cualquier $k$ con el número de secuencias de longitud $3(n-1)$ el cumplimiento de la condición para $k=n-1$.
Vamos a llamar a una secuencia de longitud $3k$ que ha $2k$ "$k$- equilibrado", y una secuencia que es $k$-equilibrada, pero no $j$equilibrada para cualquier $j\lt k$ "$k$-exclusivo". Para obtener el resultado correcto, considerar el número de $a_n$ $n$exclusivo secuencias. Podemos contar esto como el número de $\binom{3n}{2n}$ $n$- equilibrado secuencias menos el número de todos los $n$-equilibrado extensiones de $k$exclusiva de las secuencias de $0\lt k\lt n$. Para cada una de las $k$, hay $a_k$ $k$-exclusivo secuencias para ser extendido, y el restante $3(n-k)$ valores que debe contener exactamente $2(n-k)$, para que la secuencia se $n$-equilibrado. Así
$$a_n=\binom{3n}{2n}-\sum_{k=1}^{n-1}\binom{3(n-k)}{2(n-k)}a_k\;.$$
El lado izquierdo es la falta de $n$-ésimo término de la suma, por lo que este se convierte en
$$\sum_{k=1}^n\binom{3(n-k)}{2(n-k)}a_k=\binom{3n}{2n}\;.$$
Ahora
$$\sum_{k=1}^n\binom{3(n-k)}{2(n-k)}\binom{3k}{2k}\frac2{3k-1}=\binom{3n}{2n}\;,$$
así
$$a_k=\binom{3k}{2k}\frac2{3k-1}\;.$$
Para más información sobre esto, consulte ¿Cuál es la probabilidad de que una secuencia de tiradas de la moneda nunca tiene el doble de cabezas de las colas? y Combinatoria prueba de $\binom{3n}{n} \frac{2}{3n-1}$ como la respuesta a un tira la moneda problema.
El número que desee $x_n$ es el número de todas las extensiones de $k$exclusiva de secuencias de longitud $3n$, de los cuales hay $2^{3(n-k)}$. Así
$$x_n=\sum_{k=1}^na_k2^{3(n-k)}=\sum_{k=1}^n\binom{3k}{2k}\frac{2^{3(n-k)+1}}{3k-1}\;.$$
Wolfram|Alpha da una "forma cerrada" para este similar a la de David de la respuesta.
Si $x_n$$\binom{3n}{2n}+5x_{n-1}$, que no está, tendríamos
$$ x_n=\sum_{k=1}^{n} 5^{(n-k)} \binom{3k}{2k} $$ Mathematica da el siguiente "forma cerrada":
$$ x_n=-\frac{1}{5} \binom{3 n+3}{2 n+2} \, _3F_2\left(1,n+\frac{4}{3},n+\frac{5}{3};n+\frac{3}{2},n+2;\frac{27}{20}\right) -\alpha \;5^n $$ donde $ \alpha=1+2 i \sqrt{\frac{5}{7}} \cos \left(\frac{1}{6} \cos ^{-1}\left(-\frac{17}{10}\right)\right) $ is a (complex) root of $7 z^3 a 21 de z^2+36 z-27$, and $_3F_2$ es una función hipergeométrica generalizada.
