¿Cuántos posibles estantes de Scrabble existen al principio del juego?

Question

En la versión Americana de la versión de Scrabble hay cuántos posible a partir de bastidores.

Un rack contiene exactamente 7 letras (espacios cuentan como una carta para este problema). La mayoría de las letras de scrabble son limitados lo que significa que un rack puede contener:

En la mayoría de 2 de B, C, M, P, F, H, V, W, Y, o los espacios en blanco

En la mayoría de los 1 de K, J, X, Q, Z,

EN la mayoría de 3 G, 4 D, 4 U, 4 S, 4 L 6 T 6 R 6 N, 7, 7, 7 E, 7 S, 7 U

Supongo que este sería el número de enteros positivos soluciones para la ecuación .................................. a +b +c +d + ... +x +y +z +blanco = 7.

Donde a es mayor o igual que 0 y menor o igual a 7, b es mayor o igual que cero y menor o igual a 3 ....

Answer 1

Editado para el uso correcto de la carta de las distribuciones, como ha señalado Pedro.

Hay:

• 4 cartas con 7 azulejos;
• 3 cartas con 6 baldosas;
• 4 cartas con 4 fichas;
• 1 carta con tres fichas;
• 10 cartas con 2 azulejos; y
• 5 cartas con 1 azulejo.

Así que la respuesta es el coeficiente de $x^7$ en la:

$(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^4 \times (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^3 \times$
$(x^4+x^3+x^2+x+1)^4 \times (x^3+x^2+x+1) \times (x^2+x+1)^{10} \times (x+1)^5$

Según Wolfram Alpha, esto es 3199724.

Answer 2

Que $T(n)$ el número de ocurrencias del tipo de azulejo de th de $n$ y $C(n,m)$ el número de estantes que contienen exactamente el $m$ azulejos elegidos entre los primeros $n$ tipos de azulejo en el alfabeto. $C(26,7)$ es el número de azulejos de 7 estantes de scrabble. Podemos calcular $C(n,m)$ usando programación dinámica:

$C(1,i) = 1$ $i=0\dots T(1)$, $0$

$i\geq 2$:

$C(i,j) = \sum_{k=0}^{\min(T(i),j)} C(i-1,j-k)$