¿Cuál es el valor esperado del número elegido al azar los números reales entre $0$y $1$ necesarios para alcanzar una suma de $1$?

Question

Mi amigo me dijo que la respuesta a esta pregunta se $e$, lo que me intrigó, pero él se negó a decirme por qué.

Mi primera impresión fue completamente equivocado. Pensé que ya que el valor esperado de cada uno de estos números (uniformemente distribuida en $[0,1]$)$1/2$, se espera que el número de ellos que se necesitaría para obtener una suma de $1$ serían dos. Me di cuenta de que era más bien estúpido.

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Este es mi intento de calcular el valor esperado término por término. Deje $N$ el número de números entre el $0$ $1$ necesario para que su suma exceda $1$, y deje $P(N=k)$ la probabilidad de que se tarda $k$ a dichos números. Entonces el valor esperado de $N$ $$E(N) = P(N=2) \cdot 2 + P(N=3) \cdot 3 + P(N=4) \cdot 4 + \cdots$$

Yo, a continuación, calcula el primer término:

$$P(N=2) \cdot 2 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$$

Por desgracia, el segundo y más términos no son tan fáciles ...

Answer 1

Sería más fácil escribir esto como $P(N>0)+P(N>1) + P(N>2)\dots$.

Entonces usted necesita ver que $P(N>k)=\frac{1}{k!}$, que es esencialmente un argumento geométrico - el ($k$-dimensional) es el volumen de $\{(x_1,\dots,x_k)\in[0,1]^k:x_1+\dots+x_k<1\}$ $\frac{1}{k!}$.

Para la primera línea:

$$\begin{align}P(N>0) &= P(N=1)+&P(N=2)+&P(N=3)+\dots\\ P(N>1)&=&P(N=2)+&P(N=3)+\dots\\ P(N>2)&=&&P(N=3)+\dots \end {Alinee el} $$

Agregar para arriba y usted $\sum_{k=0}^\infty P(N>k) = \sum_{k=1}^\infty kP(N=k) = E(N)$.