Pruebalo $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{(8n-7)^3}-\frac{1}{(8n-1)^3}\right)=\left(\frac{1}{64}+\frac{3}{128\sqrt{2}}\right)\pi^3$

Question

Demostrar que $$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{(8n-7)^3}-\frac{1}{(8n-1)^3}\right)=\left(\frac{1}{64}+\frac{3}{128\sqrt{2}}\right)\pi^3$ $ no tengo una idea de cómo empezar.

Answer 1

Lo que tenemos es

$$\frac1{1^3} - \frac1{7^3} + \frac1{9^3} - \frac1{15^3} + \cdots $$

Imagino que si hemos utilizado el negativo de la suma de los índices (por ejemplo, $n=0, -1, -2, \cdots$). A continuación, se habría

$$\frac1{(-7)^3} - \frac1{(-1)^3} + \frac1{(-15)^3} - \frac1{(-9)^3} + \cdots$$

Usted debe ver entonces que la suma es

$$\frac12 \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left [\frac1{(8 n-7)^3} - \frac1{(8 n-1)^3} \right ] $$

El significado de esto es que podemos usar un simple resultado de los residuos de la teoría para evaluar la suma:

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = -\pi \sum_k \operatorname*{Res}_{z=z_k} [f(z) \cot{\pi z} ]$$

donde el $z_k$ son no-entero polos de $f$. Aquí

$$f(z) = \frac12 \left [\frac1{(8 z-7)^3} - \frac1{(8 z-1)^3} \right ] = \frac1{2 \cdot 8^3} \left [\frac1{(z-7/8)^3} - \frac1{(z-1/8)^3} \right ]$$

$f$ tiene polos en$z_1=1/8$$z_2=7/8$. En $z_1$, el residuo es

$$\frac1{2 \cdot 8^3} \frac1{2!} \left [ \frac{d^2}{dz^2} \cot{\pi z} \right ]_{z=1/8} = \frac1{2 \cdot 8^3} \frac1{2!} (2 \pi ^2) \cot \left(\frac{\pi }{8}\right) \csc ^2\left(\frac{\pi }{8}\right)$$

El cálculo para el otro polo es similar. A continuación, nuestra suma es

$$\frac1{2 \cdot 8^3} \frac1{2!} \pi (2 \pi ^2) \left [\cot \left(\frac{\pi }{8}\right) \csc ^2\left(\frac{\pi }{8}\right)-\cot \left(\frac{7 \pi }{8}\right) \csc ^2\left(\frac{7 \pi }{8}\right) \right ] = \frac{\pi^3}{\cdot 8^3} \cot \left(\frac{\pi }{8}\right) \csc ^2\left(\frac{\pi }{8} \right )$$

La simplificación de...

$$\cot \left(\frac{\pi }{8}\right) = 1+\sqrt{2}$$ $$\csc ^2\left(\frac{\pi }{8} \right ) = \frac{2}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{2-\sqrt{2}} = 2 \left (2+\sqrt{2} \right)$$

Por lo tanto:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left [\frac1{(8 n-1)^3} - \frac1{(8 n-7)^3} \right ] = \frac{\pi^3}{256} \left (4+3 \sqrt{2} \right )$$

Answer 2

Considere la función $b \in \{0,\ldots,7\}$ $G(b) := \sum_{n \geq 1} \frac{e^{-2\pi i nb/8}}{n^3}$. Observe que \begin{equation*} G(b) = \sum_{0 \leq a \leq 7} e^{-2\pi i ab/8} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{(8n-a)^3}. \end{ecuación *} ahora, sabemos eso si $a,a' \in \{0,\ldots,7\}$ entonces \begin{equation*} \frac{1}{8}\sum_{0 \leq b \leq 7} e^{2\pi i(a-a')b/8} = \begin{cases} 1& \text{ if %#%#%} \\ 0& \text{ otherwise}. \end{casos} \end{equation*} por lo tanto, tenemos\begin{equation*} \frac{1}{8} \sum_{0 \leq b \leq 7}e^{-2\pi i(7b)/8} G(b) = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{(8n-7)^3}, \end{ecuación *} y por lo tanto su suma en cuestión es precisamente\begin{equation*} \frac{1}{8}\sum_{0 \leq b \leq 7} \left(e^{-2\pi i(7b)/8} -e^{-2\pi ib/8}\right)G(b). \end{ecuación *} ahora, observar que $a = a'$, donde $G(b) = \sum_{n \geq 1} a_n e^{-2\pi int}$ y $t = \frac{b}{8}$. Esto se ve como una serie de Fourier. ¿Puede usted determinar la función que representa? Si es así entonces usted se casi haría.

Answer 3

Esta respuesta se utiliza la sugerencia de utilizar la función polygamma $$ \psi^{(2)}(z) = -\int_0^1 \frac{t^{z-1}}{1-t}\ln^2t dt. $$ En primer lugar, mediante la expansión de $(1-t)^{-1}$, el polygamma función de $\psi^{(2)}(x)$ puede ser escrito como \begin{align} \psi^{(2)}(z) &= -\sum_{n=0}^\infty \int_0^1 t^{n+z-1}\ln^2 tdt \cr &= -\sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty s^2 e^{-(n+z)s}ds \qquad \qquad \qquad (t=e^{-s}) \cr &= -2\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+z)^3}. \end{align} Por lo tanto, $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{(8n-7)^3}-\frac{1}{(8n-1)^3}\right) = \frac{1}{1024}\left(\psi^{(2)}\left(\frac{7}{8}\right) -\psi^{(2)}\left(\frac{1}{8}\right)\right). $$ El uso de la reflexión de la relación $$ \psi^{(2)}(1-z)-\psi^{(2)}(z) = \pi\frac{d^2}{dz^2}\cuna \pi z $$ con $z=1/8$, la suma puede ser escrito como $$ \left.\frac{\pi}{1024}\frac{d^2}{dz^2}\cuna \pi z\right|_{z=1/8} =\frac{\pi^3}{512}\left( \cuna\frac{\pi}{8}+\cot^3\frac{\pi}{8}\right). $$ Finalmente, utilizando identidades trigonométricas (la mitad del ángulo),podemos obtener $\cot \pi/8 = 1+\sqrt{2}$, y $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{(8n-7)^3}-\frac{1}{(8n-1)^3}\right) =\frac{\pi^3}{512}\Big( 1+\sqrt{2}+(1+\sqrt{2})^3 \Big)=\frac{\pi^3}{256}(4+3\sqrt{2}). $$