¿Cómo calcular el rango de $x\sin\frac{1}{x}$?

Question

Quiero encontrar el rango de $f(x)=x\sin\frac{1}{x}$. ¿Es claro que su límite superior es $$\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}=1$ $ pero lo que es su límite inferior?
Usé el software para obtener el % del resultado $y\in[0.217234, 1]$y la figura

¿Cómo calcular el valor '0.217234'? ¡Gracias!

Answer 1

Podría ser más fácil reemplazar $x$ ${1 \over x}$... entonces tu objetivo es encontrar el mínimo de ${\sin x \over x}$. Tomando derivados, esto ocurre en un $x$de % que ${\cos x \over x} - {\sin x \over x^2} = 0$, o equivalente en $\tan x = x$. Según Wolfram Alpha, el primer tal mínimo ocurre en $x = 4.49340945790906\ldots$, corresponde a un valor de ${\sin x \over x} = -0.217233628211222\ldots$.

Puesto que se trata de una ecuación trascendental probablemente tenga que usar métodos numéricos para encontrar este valor... Pero incluso cosas como Newton-Raphson deben trabajar aquí.

Answer 2

Podríamos tratar de encontrar el $x$ coordenadas de un mínimo utilizando el cálculo. Tenga en cuenta que $$ [x \sin (1/x)]' = \sin(1/x) - \cos(1/x)/x $$ Nos gustaría encontrar el menor $x$-valor en el que la derivada es cero. Es decir, queremos encontrar el más bajo de la solución de $$ \sin(1/x) - \cos(1/x)/x = 0 \implica \\ \sin(1/x) = \cos(1/x)/x \implica\\ \tan(1/x) = 1/x $$ Establecimiento $y = 1/x$, lo que realmente estamos haciendo es solución de la ecuación de $\tan(y) = y$. Por desgracia, esta ecuación sólo puede ser resuelto mediante métodos numéricos. En este caso, le gustaría que el más negativo de la solución de $y$, y establecer $x = 1/y$. Es decir, queremos que la solución de $y = -4.49340945790906 \implies x = -0.222548158$

Desde allí, usted calculuate $x \sin (1/x) = -0.217233628$.

Answer 3

Como te han dicho en respuestas anteriores, el mínimo se producirá cuando se $y-\tan (y)=0$ $y=\frac{1}{x}$ es decir, cuando la línea recta $z=y$ se cruzan la curva de $z=\tan(y)$. Overlaping los dos gráficos que muestra que la solución está en algún lugar cerca de $4.5$.

Así, vamos a utilizar método de Newton con una conjetura $y_0=4.5$ que corresponde al punto medio del intervalo. Newton iteraciones actualización supongo que el uso de $$y_{n+1}=y_n-\frac{f(y_n)}{f'(y_n)}$$ using $$f(y)=y-\tan (y)$$ $$f'(y)=1-\sec ^2(y)$$ So starting Newton scheme, the suceesive iterates are $4.49361$, $4.49341$ cual es la solución para seis cifras significativas.