¿Cómo se puede demostrar que para los triángulos de lados $a,b,c$ que
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} < 2$$
Mi prueba es larga, por lo que estoy publicando el problema aquí.
Paso 1: dejar que $a=x+y$ , $b=y+z$ , $c=x+z$ y que $x+y+z=1$ para conseguir
$\frac{1-x}{1+x}+\frac{1-y}{1+y}+\frac{1-z}{1+z}<2$
Paso 2: considerar la función $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$ y observe que es convexo en el intervalo (0,1), por lo que el mínimo de
$\frac{1-x}{1+x}+\frac{1-y}{1+y}+\frac{1-z}{1+z}$
se alcanza cuando la función toma los puntos extremos, es decir $x=y=0, z=1$ .
Pero volviendo al hecho de que se trata de un triángulo, observamos que $x=y=0 \implies a=0$ que no es posible, por lo que la desigualdad es estricta.