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Desigualdad que involucra los lados de un triángulo

¿Cómo se puede demostrar que para los triángulos de lados $a,b,c$ que

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} < 2$$

Mi prueba es larga, por lo que estoy publicando el problema aquí.

Paso 1: dejar que $a=x+y$ , $b=y+z$ , $c=x+z$ y que $x+y+z=1$ para conseguir

$\frac{1-x}{1+x}+\frac{1-y}{1+y}+\frac{1-z}{1+z}<2$

Paso 2: considerar la función $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$ y observe que es convexo en el intervalo (0,1), por lo que el mínimo de

$\frac{1-x}{1+x}+\frac{1-y}{1+y}+\frac{1-z}{1+z}$

se alcanza cuando la función toma los puntos extremos, es decir $x=y=0, z=1$ .

Pero volviendo al hecho de que se trata de un triángulo, observamos que $x=y=0 \implies a=0$ que no es posible, por lo que la desigualdad es estricta.

10voto

Anthony Shaw Puntos 858

Dejemos que $c$ sea el mayor de $a$ , $b$ y $c$ . Entonces \begin{align} \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}&\le\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+b}\\ &=1+\frac{c}{a+b}\\ &< 2 \end{align} desde $c<a+b$ .

Para un triángulo degenerado con $a=0$ tenemos $c=a+b$ y la suma es igual a $2$ .

3voto

Simon Gillbee Puntos 366

$\displaystyle\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} < \frac{a+a}{b+c+a} + \frac{b+b}{c+a+b} + \frac{c+c}{a+b+c} = 2$

desde $a<b+c$ etc.

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