¿Probar que g (0) = 0?

Question

(tomado de Spivak del cálculo de la página 281)

Supongamos que $f$ $g$ son funciones diferenciables de satisfacciones $$ \int_{0}^{f(x)} (fg)(t) \, \mathrm{d}t=g(f(x))$$ Demostrar que $g(0)=0$.

Ahora si $f(x)=0$ en algún punto, entonces, es sencillo, que $g(f(x))=g(0)=0$.

De todos modos: la diferenciación de la primera fórmula obtenemos la siguiente ecuación :

$$f'(x).(fg)(f(x))=g'(f(x)).f'(x).$$

Supongamos que $f'(x)=0$, lo $f$ es constante en i.e $f(x)=c$ si $c=0$ hemos terminado, $g(0)=0$ si $c\neq 0$, entonces :

$\displaystyle \int_{0}^{c} fg(t) \, \mathrm{d}t$=g(c)

$\displaystyle \int_{0}^{c} g(t) \, \mathrm{d}t$=g(c)/c, estoy atascado aquí , ¿cómo podemos demostrar que g(0)=0 (u obtener una contradicción) de esta ecuación? EDIT : yo tenía un montón de errores fijos ellos , lo siento primera vez que publica.. EDIT 2 : he comprobado spivak del cálculo de las soluciones de libro y no lo he encontrado esta pregunta, sólo jumos de la pregunta 7 a 9 (ignorar esto )

Answer 1

Te voy a mostrar que $g(0) = 0$ no está obligado a mantener.

Tenemos $$ \displaystyle c \int_{0}^{c} g(t) \, \mathrm{d}t = g(c) $$ Ahora tome $g(x) = e^x$ y vamos a encontrar una $c$ que por encima de identidad del titular. $$ c\int_0^c e^t dt = g(c) $$ $$ c ( e^c - 1 ) = e^c $$ $$ 0 = (1-c)e^c + c $$ Y como se puede ver a partir de su gráfica tiene un valor distinto de cero de la solución. Así, por $f(x) = c \approx 1.34998$ $g(x) = e^x$ la propiedad $$ \displaystyle \int_{0}^{f(x)} f(t)g(t) \, \mathrm{d}t = g(f(x)) $$ sostiene y $g(0)\neq 0 $. Sería interesante investigar un poco de variación a la que quastion.

Decidir si es trivial $g$ por cada $f$ $$ \displaystyle \int_{0}^{f(x)} f(t)g(t) \, \mathrm{d}t = g(f(x)) $$ sostiene. Y decidir si este no trivial $g$ también tiene que satisfacer $g(0)=0$

Answer 2

Tenemos que entender que por las condiciones que se sigue que $$f'(x)f(f(x))g(f(x)) = g'(f(x))f'(x)$$ and cancelling $f'(x)$ we can see that $$f(y)g(y) = g'(y)$$ and therefore $g$ is anti-derivative of $fg$. It now follows clearly that the integral in question must be $g(f(x)) - g(0)$ and since it is given as $g(f(x))$ it follows that $g(0) = 0$.