¿Es posible calcular el "carácter gcd" de dos representaciones de un grupo finito?

Question

Tengo dos representaciones reducibles de un grupo finito $G$ de tipo Lie, $\rho, \pi$ . Ambos tienen multiplicidad uno, y sé que comparten exactamente una subrepresentación irreducible.

¿Existe algún método para obtener explícitamente el carácter de la subrepresentación común utilizando sus caracteres? (es decir, sin utilizar tablas de caracteres)

Usando la teoría de Mackey he encontrado un operador de entrelazamiento $M:\rho\rightarrow\pi$ por lo que la subrepresentación es isomorfa a la imagen de $M$ en $\pi$ . Pero la dimensión de $\pi$ es bastante grande, "objetivamente" - no sólo comparado con el de $\rho$ por lo que parece tedioso calcular la imagen.

Answer 1

Dado un grupo finito o compacto $G$ (sin estructura adicional) y dos representaciones finito-dim'l $(\rho, V_\rho)$ y $(\pi, V_\pi)$ no importa la multiplicidad, se puede definir $G$ -proyecciones equivariantes $V_\pi \rightarrow V_\pi$ por $$ v \mapsto \int\limits_{G} \overline{( tr \rho(g))} \pi(g)v d g.$$ Puede considerar sumas, por supuesto.

Se proyecta sobre $V_{\pi \cap \rho}$ donde $V_{\pi \cap \rho}$ es el subespacio invariante máximo que es isomorfo (como $G$ -reps) a una subrepresentación de un múltiplo de $V_\pi$ .

Esto se deduce de las relaciones de ortogonalidad de Schur.

Dada la multiplicación por uno de ambos $\pi$ y $\rho$ obtenemos $V_{\pi \cap \rho} \cong V_{\rho \cap \pi}$ . Digamos $\pi \cap \rho = \rho \cap \pi$ es el gcm.

Dada una base ortonormal $(v)$ de $V_\rho$ podemos definir $$ tr \rho \cap \pi(g) = \sum_v \langle v, P \pi(g) v \rangle.$$