Números racionales - LCM y HCF

Question

Estaba leyendo un libro de texto y me encontré con el siguiente enfoque para encontrar el LCM y HCF de fracciones de números racionales:

• LCM de fracciones = LCM de numeradores/HCF de denominadores
• HCF de fracciones = HCF de numeradores/LCM de denominadores

Alguien por favor me puede ayudar entender ¿por qué la fórmula anterior es válida o cómo lo anterior lógicamente deduce?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Notación: $\text{HCF}$ se denota a continuación como $\text{gcd}$.

Suponga que tiene dos fracciones $\frac{a}{b},\frac{c}{d}$ reducido a la más baja términos. Vamos

$$\begin{eqnarray*} a &=&\underset{i}{\prod } p_{i}^{e_{i}(a)},\qquad b=\underset{i}{\prod } p_{i}^{e_{i}(b)}, \\ c &=&\underset{i}{\prod } p_{i}^{e_{i}(c)},\qquad d=\underset{i}{\prod } p_{i}^{e_{i}(d)}. \end{eqnarray*}$$

ser el primer factorizations de los enteros $a,b,c$$d$. Entonces

$$\frac{\underset{i}{\prod }\ p_{i}^{\max \left( e_{i}(a),e_{i}(c)\right) }}{% \prod_{i}\ p_{i}^{\min \left( e_{i}(b),e_{i}(d)\right) }}$$

es una fracción que es un múltiplo común de a $\frac{a}{b},\frac{c}{d}$. Es al menos uno, porque por las propiedades de la $\text{lcm}$ $\gcd $ de dos enteros, $\prod_{i}\ p_{i}^{\max \left( e_{i}(a),e_{i}(c)\right) }$ es la mínimo común múltiplo de los numeradores y $\prod_{i}\ p_{i}^{\min \left( e_{i}(b),e_{i}(d)\right) }$ es el máximo común divisor de los denominadores. Por lo tanto

$$\begin{eqnarray*} \text{lcm}\left( \frac{a}{b},\frac{c}{d}\right) &=&\text{lcm}\left( \frac{{\prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(a)}}}{\prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(b)}},\frac{% \prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(c)}}{\prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(d)}}\right)=\frac{\prod_{i}\ p_{i}^{\max \left( e_{i}(a),e_{i}(c)\right) }}{% \prod_{i}\ p_{i}^{\min \left( e_{i}(b),e_{i}(d)\right) }}=\frac{\text{lcm}(a,c)}{\gcd (b,d)}.\quad(1) \end{eqnarray*}$$

Del mismo modo

$$\begin{eqnarray*} \gcd \left( \frac{a}{b},\frac{c}{d}\right) =\gcd \left( \frac{{\prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(a)}}}{\prod_{i}p_{i}^{e_{i}(b)}},\frac{% \prod_{i\ }p_{i}^{e_{i}(c)}}{\prod_{i}p_{i}^{e_{i}(d)}}\right) =\frac{\prod_{i}\ p_{i}^{\min \left( e_{i}(a),e_{i}(c)\right) }}{% \prod_{i}\ p_{i}^{\max \left( e_{i}(b),e_{i}(d)\right) }} =\frac{\gcd (a,c)}{\text{lcm}(b,d)}.\quad(2) \end{eqnarray*}$$

La aplicación repetida de estas relaciones se generaliza el resultado a cualquier número finito de fracciones.

Answer 2

Esto es como yo lo entiendo,

Vamos $\dfrac 23$, $\dfrac 56$ y $\dfrac 79$ tres fracciones. Deje $\dfrac AB$ ser su LCM. Ahora todas las fracciones debe dividir $\dfrac AB$, es decir, A/B ÷ 2/3, A/B ÷ 5/6 y A/B ÷ 7/9 todos deben ser números naturales. O A3/B2, A6/B5 y A9/B7 todos deben ser números naturales. Esto requiere que Una debe ser divisible entre 2,5 y 7 de cada y B debe ser un factor de 3,6 y 9 cada uno. En otras palabras, debe ser un múltiplo de 2,5 y 7. Ahora A/B debe ser menor valor posible que nos obliga a elegir el mayor valor posible de B(HCF de los numeradores) y el valor más bajo posible de UN(MCM de los denominadores).

Del mismo modo podemos entender cómo encontrar HCF de un determinado número de fracciones.

Answer 3

A continuación es una prueba de que funciona en cualquier MCD de dominio, utilizando las definiciones universales de MCD, MCM. Estas ideas se remontan a Euclides, que define la mayor medida común de los segmentos de línea. Hoy en día esto también puede ser visto en términos de la fracción ideales o Krull $v$-ideales.

Teorema $\rm\quad\ \ (a/b,A/B)\: =\: (a,A)/[b,B]\ \ $ si $\rm\ \ (a,b) = 1 = (A,B)$
Prueba
$\rm\begin{eqnarray} &\rm c &|&\rm a/b,A/B \\ \quad\iff&\rm Bbc &|&\rm aB,Ab \\ \iff&\rm Bbc &|&\rm (aB,Ab) \\ \iff&\rm Bbc &|&\rm (aB, (A,aB)(b,aB))\ \ &\rm by\quad (x,yz) = (x,y(z,x)),\ \ see\ [2] \\ \iff&\rm Bbc &|&\rm (aB, (A,a) (b,B))\ \ &\rm by\quad (a,b) = 1 = (A,B) \\ \iff&\rm Bbc &|&\rm (a,A) (b,B)\ \ &\rm by\quad (A,a)\ |\ a,\ (b,B)\ |\ B \\ \iff&\rm c &|&\rm (a,A)/[b,B]\ \ &\rm by\quad (b,B)\:[b,B] = bB, \ \ see\ [3] \end{eqnarray}$

Aquí están los enlaces a las pruebas de la dpc usan leyes: la ley [2] y de la ley [3].