Pregunta de integral de Riemann

Question

Supongamos que $ f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ es Riemann integrable en $[a,b]$ y $g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ diferencia de $f$ % solamente un punto $x_0 \in [a,b]$, es decir, $g(x)=f(x)$ $x \neq x_0$ y $g(x_0) \neq f(x_0)$. Muestran que $g$ es Riemann integrable en $[a,b]$.

Tengo un pequeño problema, lo mío fue que tal vez encontrar una partición y mirar cómo se comporta en la partición que contiene $x_0$

Agradeceria cualquier ayuda

Answer 1

Consejo General: si se enfrenta con un problema, primero tratar de entender lo que hace interesante el problema, y lo que es el ruido; luego el ruido del filtro y extraiga la parte interesante.

Que $\delta_z(x) = 1$ $x = z$ y $\delta_z(x) = 0$ lo contrario. Si demostramos que cualquier $z$ la integral $\int \delta_z(x) dx$ existe y es igual a $zero$ (esta es la parte interesante), tenemos: $$g = f + c\delta_z(x)$$ and (this is the noise done by your profesor during the course) $% $ $\int g(x) dx = \int f(x) + c\delta_z(x) dx = \int f(x) dx + c\int \delta_z(x) dx = \int f(x) dx$

Usted es la parte interesante.

Answer 2

Aquí está una innecesaria mancha de respuesta:

Hay un famoso Lebesgue criterio de integrabilidad de Riemann de una función de $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ (mi colega Roy Smith me informa de que se puede encontrar ya en la obra de Riemann!): es necesario y suficiente que $f$ ser limitado y que su conjunto de discontinuidades han (Lebesgue!) medida cero.

Dado esto: es un ejercicio fácil de demostrar que la modificación de una función mediante el cambio de sus valores en cualquier conjunto finito $S$ no cambia su acotamiento/ilimitado, y de manera similar, sólo podía crear o destruir discontinuidades en $x$$x \in S$. Así que el Lebesgue criterio se aplica aquí. (Cuidado: el cambio de una función en un contable conjunto de valores sólo puede cambiar la continuidad en cada punto: dejo al lector para el suministro de la canónica ejemplo de esto).

Por supuesto, uno puede-y debe-también muestran directamente de la definición de integrabilidad de Riemann.