Si $i\colon A\to X$ es una cofibration $1\times i\colon B\times A\to B\times X$ es cofibration para cualquier espacio $B$. ¿Es eso cierto?

Question

En Topología Algebraica (Hatcher, pg 14) Encuentro: Un par de $\left(X,A\right)$ tiene la homotopy extensión de la propiedad si y sólo si $X\times\left\{ 0\right\} \cup A\times\mathbb{I}$ es un retractarse de $X\times\mathbb{I}$. Salir de la situación que $A$ es un subespacio de $X$ $i$ es su inclusión, esto puede se traducen en: $i\colon A\rightarrow X$ es un cofibration si y sólo si $X\times\left\{ 0\right\} \cup i\left[A\right]\times\mathbb{I}$ es un retractarse de $X\times\mathbb{I}$. Aquí $i\left[A\right]=A$. Mi la pregunta es si esto sigue siendo válido en un contexto más general de ajuste alcanzado al caer la condición de $A\subseteq X$ y dejando $i\colon A\rightarrow X$ ser una función continua. Es cierto que $i:A\rightarrow X$ es un cofibration si y sólo si $i$ es una incrustación y $X\times\left\{ 0\right\} \cup i\left[A\right]\times\mathbb{I}$ es un retractarse de $X\times\mathbb{I}$? En Topología y Groupoids(Ronald Brown, de la página 266, 267) me encuentro con una prueba de que las condiciones son necesarias. Pero, ¿son suficientes? Si es así, entonces, con base en él, se puede fácilmente se muestra que - si $i\colon A\rightarrow X$ es un cofibration - también se $1\times i\colon B\times A\rightarrow B\times X$ es un cofibration para cualquier espacio $B$ ($r$ la retracción $\Rightarrow$ $1\times r$ retracción y $i$ incrustación $\Rightarrow$ $1\times i$ incrustar). Este resultado también se puede encontrar en la Topología y de la Groupoids (página 268), pero bajo una condición adicional en $B$ (debe ser localmente compacto) o una condición adicional en $i$ (debe ser un cerrado mapa). A mí me parece que estas condiciones pueden ser dejados de lado. Estoy en lo cierto?

Answer 1

Si $i$ es una incrustación, podemos considerar $A$ un subespacio de $X$, e $X\times \{0\}\cup A\times I$ ser un retractarse de $X\times I$, de hecho, implica que cada par de continuo mapas, $f$ $X\times\{0\}$ y un homotopy $g_t$ $A\times I$ tal que coinciden en $A\times\{0\}$, puede ser extendida a una homotopy en $X\times I$. Sería trivial si estos dos mapas $f$ $g_t$ siempre se puede estar pegado a un solo mapa continuo en la unión de sus dominios. Pero si esta unión es un retact $X\times I$, se puede demostrar que estos mapas pueden ser pegados. Una prueba se puede encontrar en el Apéndice revisado de Hatcher del libro.