Encontrar todas las soluciones al $x^2+54=y^3$ sobre los enteros

Question

Encontrar todas las soluciones a $x^2+54=y^3$ respecto de los enteros. Sugerencia: el ideal del grupo de clase de la orden de $\mathcal{O}_{-6}$, $h_{\sqrt{-6}}=2$.

$$\\$$ Primero nos tenga en cuenta que si $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-6})$,$R=\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$, y por algún teorema, ya que $-6\equiv2 \pmod4$, entonces el ideal $(2)_R$ ramifies en $\mathfrak{p}_2^2$ donde $\mathfrak{p}_2=(2,\sqrt{-6})_R$, lo que no puede ser un director de ideal, dado que no hay solución a $a^2+6b^2=2$ respecto de los enteros. Por lo tanto el grupo de clase $Cl(R)=\{e,[\mathfrak{p}_2]\}$, ya que su fin es 2.

Podemos factorise así que si $\alpha =x+3\sqrt{-6}$,$\alpha\tilde{\alpha}=y^3$.

Ahora, tenga en cuenta que $2\nmid x$ (de lo contrario $2|y\Rightarrow 4|54=2\cdot3^3$, la contradicción), por lo $2\nmid y$.

Esto significa que $(y)_R^3\sim e$, ya que de lo contrario tendríamos $\mathfrak{p}_2|(y)_R^3\Rightarrow \mathfrak{p}_2^2|(y)_R^3$, lo que no podemos tener por el de arriba. Por lo tanto $(\alpha\tilde\alpha)_R\sim (y)_R^3\sim e$. Esto a su vez implica que en el máximo ideal de la descomposición de $(\alpha)_R$, no podemos tener un factor de $\mathfrak{p}_2$, y por lo $(\alpha)_R\sim(\tilde\alpha)_R\sim e$. Entonces podemos escribir $(\alpha)_R=\prod_{i=1}^n\mathfrak{q}_i^{r_i}$ $\mathfrak{q}_i\nsim\mathfrak{p}_2$ máxima ideales. Ahora podemos deducir que $3|r_i\;\; \forall i$, de modo que podemos escribir $(\beta)_R=\prod_{i=1}^n\mathfrak{q}_i^{r_i/3}$$(\beta)^3_R=(\alpha)_R$.

Como ambos son los principales ideales, podemos escribir $\beta^3=\alpha=x+3\sqrt{-6}$ algunos $a+b\sqrt{-6}=\beta\in R$. La solución de esta ecuación mediante la comparación de los coeficientes obtenemos que: $\beta^3=a(a^2-18b^2)+3b(a^2-2b^2)\sqrt{-6}=x+3\sqrt{-6}\Rightarrow b(a^2-2b^2)=3$, y tenemos que la única solución es $b=-1,a=\pm 1\Rightarrow x=\pm17\Rightarrow y=7$.

Por lo $(\pm 17,7)$ son todas las soluciones.

Es mi razonamiento correcto?

Answer 1

Este es un caso especial de Mordell de curvas elípticas $y^2=x^3+k$, aquí con $k=-54$. Keith Conrad tiene una nota, donde se explica cómo encontrar todas las soluciones integrales en los casos en donde la teoría algebraica de números puede ser aplicada. Este se encuentra en la sección $3$, comparar con el Teorema de $3.3$, $3.4$, Ejemplo $3.7$, $3.8$.