Serie infinita con cos en numerador

Question

¿Cómo evalúa esta serie?

$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{\cos i}{2^i}$$

Es absolutamente convergente en comparación a la serie geométrica. Pero el $\cos$ me es tropezar. He intentado diferenciar para pasar por el $\cos$-> $\sin$-> $\cos$ ruta, pero eso me da distintas potencias de 2 en el denominador. ¿Alguna idea?

Answer 1

Sugerencia. Uno puede escribir, $|q|<1$, $\alpha \in \mathbb{R}$, \sum_{n=1}^{\infty $$} q ^ n \cos (n\alpha) = \Re \sum_{n=1}^{\infty} (qe ^ {i\alpha}) ^ n = \Re\: \frac{qe^{i\alpha}}{1-qe^{i\alpha}} $$ donde hemos utilizado la evaluación estándar de una serie geométrica.

Answer 2

ps