Una conjetura sobre múltiples valores de Zeta y el teorema de la enumeración de Polya

Question

Permítame expresar mi motivación. Yo creo que el Polya Enumeración Teorema De y Múltiples Valores Zeta (el clásico, siendo el problema de Basilea y los valores de la de Riemann zeta en función de los números enteros) se encuentran entre los más interesantes los objetos de las matemáticas.

Con este mensaje, yo presente una conjetura que conecta estos dos (PET y MZVs). Lo más probable es que una prueba en algún lugar en la literatura, que invito a los lectores a enviar en forma de texto, si se admite que un compacto presentación o como una referencia si no.

Para entender esta conjetura usted necesita aprender sobre el conjunto múltiple de ciclo los índices, que he presentado en un contexto diferente, en este MSE enlace.

Multisets y su ciclo de índices forma de una combinatoria de especies como cualquier otro, por ejemplo, ciclos, secuencias y series. Ellos representan multisets y se identificado por la partición que corresponde a las multiplicidades de los elementos del conjunto múltiple, por ejemplo, $\mathfrak{M}_{1,2,3}$ es un conjunto múltiple que contiene tres elementos, uno de los cuales en dos copias y otro de tres. La sustitución de un OGF en un conjunto múltiple ciclo de índice los rendimientos de la generación de la función del conjunto múltiple.

Existe un conjunto múltiple ciclo de índice que está escrito $\mathfrak{M}_{1,1,1,\ldots,1}$ , lo que da al conjunto múltiple donde todos los los elementos son únicos, es decir, las especies de conjuntos. Este ciclo el índice de se conoce desde hace algún tiempo y se utiliza para calcular el operador de conjuntos $\mathfrak{P}.$ El ciclo del índice de $Z(P_n)$ del conjunto del operador $\mathfrak{P}_{=n}$ es la diferencia entre el ciclo de índice $Z(A_n)$ de la alternancia de grupo y el ciclo de índice $Z(S_n)$ de los simétrica grupo en $n$ elementos. Se admite la siguiente definición recursiva:

$A$Z(P_0) = 1 \quad\text{y}\quad Z(P_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (-1)^{l+1} a_l Z(P_{n-l}).$$

Aquí está el ciclo de los índices de $Z(P_3), Z(P_4)$ $Z(P_5):$ $$\begin{array}{|l|l|} \hline Z(P_3) & \frac{1}{6}\,{a_{{1}}}^{3}-1/2\,a_{{2}}a_{{1}}+1/3\,a_{{3}}\\ \hline Z(P_4) & \frac{1}{24}\,{a_{{1}}}^{4}-1/4\,a_{{2}}{a_{{1}}}^{2} +1/3\,a_{{3}}a_{{1}}+1/8\,{a_{{2}}}^{2}-1/4\,a_{{ 4}}\\ \hline Z(P_5) & {\frac {1}{120}}\,{a_{{1}}}^{5}-\frac{1}{12}\,a_{{2}}{a_{{1}}}^{3} +1/6\,a_{{3}}{a_{{1}}}^{2}+1/8\,a_{{ 1}}{a_{{2}}}^{2}-1/4\,a_{{4}}a_{{1}} -1/6\,a_{{2}}a_{{3}}+1/5\,a_{{5}}\\ \hline\end{array}$$

Con estas definiciones ya estamos listos para el estado de la conjetura de que es, simplemente, que $$\large \color{blue}{\zeta(s, s, s, \ldots, s) = Z(P_n)(\zeta(s), \zeta(2s), \ldots, \zeta(ns))}$$ es decir, el MZV de un único argumento de $s$ repitió $n$ veces es igual a la sustituido ciclo de índice $Z(P_n)$ del conjunto del operador $\mathfrak{P}_{=n}$ de acuerdo a la regla de $a_l = \zeta(ls).$

Tenga en cuenta que el caso de $n=3$ se encuentra en la página de Wikipedia para que MZVs He ligado en la introducción.

Ejemplo. La conjetura dice por ejemplo, que $$\zeta(5,5,5,5) = 1/24\, \zeta \left( 5 \right) ^{4}-1/4\,\zeta \left( 10 \right) \zeta \left( 5 \right) ^{2}+1/3\,\zeta \left( 15 \right) \zeta \left( 5 \right) +1/8\, \zeta \left( 10 \right) ^{2}-1/4\,\zeta \left( 20 \right).$$

Observación importante. El lector bien puede reflexionar sobre la declaración de de la conjetura y dicen que no hay nada que probar, que me acepte como prueba, si se acompaña de una breve explicación de por qué esto debería ser así.

Yo también incluyen algunos de Arce código que escribí en el fin de verificar esto conjetura. La rutina para el ciclo de índices y la sustitución de la Riemann zeta valores en dicho índices es simple y rápido, pero necesidades de muy alta precisión, incluso para valores pequeños de a $s$ como $10\le s\le 20.$ Por otro lado la rutina para el numérico el cálculo es bastante ingenuo (que no hace más que aplicar la la definición). Tiene un tercer argumento que establece la precisión de que en mis experimentos funciona bien con quince a veinte dígitos. El la convergencia es el polinomio en $n$ sólo y resultados mucho más rápido son obtenido al $s$ es grande.

Aquí está una muestra de la sesión.

> es(15,6,16);
-42
 0.1550456579131991 10

> evalf(es_into_cind(15,6));
-9
 0.1 10

> Digits := 50;
 Dígitos := 50

> evalf(es_into_cind(15,6));
-42
 0.15504566 10

Y este es el código. La rutina es calcula el MZV en $s$ repitió $n$ veces a una determinada precisión utilizando la serie. La rutina pet_cycleind_set calcula $Z(P_n)$ y por último la rutina es_into_cind calcula el MSV en $s$ utilizando el ciclo de índice y la de Riemann zeta función. (El prefijo es stands de Euler Sum). Estos cálculos el uso de recursos considerables tanto en caso de ciclos de CPU y memoria se refiere. Los valores de factibilidad de iniciar en es(12,12,10) con el máximo de la asignación de memoria 518MB y el cómputo de tiempo de 3 minutos y 30 segundos. La llamada es(13,10,11) ha asignación de memoria máxima 470MB y se completa en menos de 3 minutos. La llamada es(14,10,12) ha asignación de memoria máxima 396MB y tarda 1 minuto y 30 segundos. Secuencial de llamadas parecen beneficiarse de algunas de almacenamiento en caché de Arce. (Claro que podemos hacerlo mejor.) Hasta ahora todos los experimentos numéricos han confirmado la conjetura.

con(planta);
con(numtheory);


es :=
proc(s, dim, dgs)
opción de recordar;
local dlist, nxtgen, k, delta, delta2, pos, v, vv, iprec;
 Dígitos := dgs;

 dlist := [[seq(dim+1-k, k=1..dim)]];
 iprec := evalf(log[10](1/convert(dlist[1], `*`)^s,));

 vv := -1e0;
 v := 0e0;

 mientras log[10](v-vv) > iprec Dígitos hacer
 nxtgen := tabla();

 vv := v;

 para delta en dlist ¿
 v := v + evalf(1/convert(delta, `*`)^s);

 delta2 := [delta[1]+1, seq(delta[k], k=2..dim)];
 nxtgen[delta2] := 1;

 para pos de 2 a dim ¿
 si delta[pos]+1 < delta[pos-1], a continuación,
 delta2 :=
 [seq(delta[k], k=1..pos-1),
delta[pos]+1,
 seq(delta[k], k=pos+1..dim)];
 nxtgen[delta2] := 1;
fi;
od;
od;

 dlist := [índices(nxtgen, 'nolist')];
od;

v;
end;


pet_cycleind_set :=
proc(n)
 local p, s, res;
 opción de recordar;

 si n=0 entonces devolver 1; fi;

ampliar(1/n*
agregar(a[l]*(-1)^(l+1)*
 pet_cycleind_set(n-l), l=1..n));
end;

es_into_cind :=
proc(s, n)
 local clen, slist;

 slist := [];
 para clen a n do
 slist := [op(slist), un[clen] = Zeta(clen*s)];
od;

 subs(slist, pet_cycleind_set(n));
end;

La sustitución en la última rutina se podría hacer mucho más elegante el uso de Arce de secuencia del operador, pero voy a dejarlo como está por el momento.

Adenda. Una aplicación interesante del resultado anterior se encuentra en esta MSE enlace.

Answer 1

En realidad, esto no tiene nada que ver con zeta funciones, es pura simetría - un caso especial de

$$e_n=Z(P_n)(p_1,p_2,\cdots,p_n) \tag{1}$$

donde $e_k$ $p_k$ son de primaria y de poder de suma simétrica polinomios, en infinidad de variables $x_1,x_2,\cdots$, respectivamente. Para valores zeta simplemente evaluar en $x_k:=k^{-s}$.

El recursiva de identidad que usted escribió es el contenido de Newton identidades, que produce de forma explícita

$$e_n=\frac{1}{n}\sum_{l=1}^n(-1)^{l+1}p_le_{n-l}. \tag{2}$$

De forma más explícita fórmula es posible mediante el uso de funciones de generación. Observar

$$\begin{align} \sum_{n=0}^\infty T^ne_n & = \prod_{i=1}^\infty(1+Tx_i) \tag{3} \\ & = \exp\left[\sum_{i=1}^\infty \log(1+Tx_i)\right] \tag{4} \\ & = \exp\left[\sum_{i=1}^\infty \sum_{\ell=1}^\infty (-1)^{\ell+1}\frac{(Tx_i)^\ell}{\ell}\right] \tag{5} \\ & = \exp\left[\sum_{\ell=1}^\infty(-1)^{\ell+1}\frac{T^\ell}{\ell}\sum_{i=1}^\infty x_i^\ell\right] \tag{6} \\ & = \exp\left[\sum_{\ell=1}^\infty(-1)^{\ell+1}\frac{T^\ell}{\ell}p_\ell\right] \tag{7} \\ & = \prod_{\ell=1}^\infty\exp\left[(-1)^{\ell+1}\frac{T^\ell}{\ell}p_\ell\right] \tag{8} \\ & = \prod_{\ell=1}^\infty \left[\sum_{c_\ell=0}^\infty \frac{1}{c_\ell!}\left((-1)^{\ell+1}\frac{T^\ell}{\ell}p_\ell\right)^{c_\ell}\right] \tag{9} \\ & = \sum_{n=0}^\infty T^n \sum_{1c_1+2c_2+\cdots=n} \prod_{\ell=1}^\infty \frac{(-1)^{(\ell+1)c_\ell}}{c_\ell!}\left(\frac{p_\ell}{\ell}\right)^{c_\ell} \tag{10} \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac{T^n}{n!} \sum_{1c_1+\cdots+nc_n=n} (-1)^{c_2+c_4+\cdots}\frac{n!}{1^{c_1}2^{c_2}\cdots n^{c_n}c_1!c_2!\cdots c_n!}p_1^{c_1}\cdots p_n^{c_n} ~~ \tag{11} \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac{T^n}{n!}\sum_{\sigma\in S_n} {\rm sgn}(\sigma)p_1^{c_1(\sigma)}\cdots p_n^{c_n(\sigma)} \tag{12} \end{align}$$

donde $c_k(\sigma)$ es el número de la longitud de la $k$ ciclos en $\sigma$'s discontinuo ciclo de descomposición, el signo de $\sigma$ es igual a $(-1)^{c_2+c_4+\cdots}=(-1)^{2c_1+3c_2+4c_3+\cdots}$, y el número de permutaciones en $S_n$ con el tipo de ciclo $(\underbrace{n,\cdots,n}_{c_n},\cdots,\underbrace{1,\cdots,1}_{c_1})$ tiene $n!/(1^{c_1}2^{c_2}\cdots n^{c_n}c_1!\cdots c_n!)$ (ver aquí).

Por lo tanto, podemos concluir

$$e_n=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma)p_1^{c_1(\sigma)}\cdots p_n^{c_n(\sigma)}. \tag{13}$$

El más general de los polinomios en su adicional MZV identidades se denomina monomio simétrica funciones de $m_\mu$ por entero particiones $\mu$. Estos forman una base lineal durante el espacio de simétrica funciones. Yo no soy consciente de que una fórmula directa para monomio simétrica funciones en términos de poder de sumas, pero en términos de la norma constantes y funciones no es una forma indirecta: la escritura monomials en términos de Schur polinomios $s_\lambda$, y la escritura de aquellos con poder-sumas.

El Kostka números se definen por la relación $s_\lambda=\sum_\mu K_{\lambda\mu}m_\mu$, donde la suma es sobre entero de particiones. Si uno invierte el Kostka de la matriz se puede escribir $m_\mu=\sum_\lambda J_{\mu\lambda}s_\lambda$ para algunos valores de $J_{\mu\lambda}$.

Schur polinomios a su vez se puede descomponer como

$$s_\lambda=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in S_n}\chi_\lambda(\sigma)p_1^{c_1(\sigma)}\cdots p_n^{c_n(\sigma)} \tag{14}$$

donde $\chi_\lambda$ es el carácter irreductible de $S_n$ correspondiente a $\lambda$.

Otra ruta para la envolvente de cálculo es descomponer $m_\mu$ en las variables de $e_k$ (lo cual es posible gracias al teorema fundamental de los polinomios simétricos) el uso de este algoritmo recursivoy, a continuación, escribir el $e_k$s en términos de $p_k$s en $(13)$. Esto debería ser más rápido, aunque probablemente hay incluso más rápido, más directo, de una manera de escribir monomials en términos de poder-sumas. Para obtener más literatura sobre esta usted querrá leer más profundo en la combinatoria de los polinomios simétricos así como la teoría de la representación de grupos simétricos.

De interés teórico, la teoría de la representación ilustra $(14)$ es una traza de la fórmula:

$$\chi_{\Bbb S_\lambda(V)}(g)=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in S_n} \chi_\lambda(\sigma)\chi_V(g^1)^{c_1(\sigma)}\cdots\chi_V(g^n)^{c_n(\sigma)}$$ where $\Bbb S_\lambda(V)=V^{\otimes n}\otimes_{\Bbb C[S_n]}M_\lambda$ is the Schur functor applied to $V$ considered as a representation of the group ${\rm GL}(V)$, and $M_\lambda$ is the irreducible representation of $S_n$ associated to $\lambda$.

Answer 2

Por medio de enriquecimiento de este debate, me gustaría presentar algunos adicional MZV identidades, con el propósito de verificar si estos son como fácil de probar, ya lo tuve en mi primer post. Ellos fueron calculadas con conjunto múltiple ciclo de índices como se describe en el post y el link siempre hay. Por favor, indicar las posibles pruebas. Código disponible en solicitud.

$$\begin{array}{|l|l|} \hline \mathfrak{M}_{3,3,3} & 1/6\, \left( \zeta \left( 3\,s \right) \right) ^{3}+1/3\,\zeta \left( 9\,s \right) -1/2\,\zeta \left( 3\,s \right) \zeta \left( 6\,s \right) =\zeta \left( 3\,s,3\,s,3\,s \right)\\ \hline \mathfrak{M}_{2,2,5} & 1/2\, \left( \zeta \left( 2\,s \right) \right) ^{2}\zeta \left( 5\,s \right) -1/2\,\zeta \left( 4\,s \right) \zeta \left( 5\,s \right) -\zeta \left( 2\,s \right) \zeta \left( 7 \,s \right) +\zeta \left( 9\,s \right) \\ &=\zeta \left( 2\,s,2\,s, 5\,s \right) +\zeta \left( 2\,s,5\,s,2\,s \right) +\zeta \left( 5\,s,2\,s,2\,s \right)\\ \hline \mathfrak{M}_{2,3,4} & \zeta \left( 2\,s \right) \zeta \left( 3\,s \right) \zeta \left( 4\,s \right) -\zeta \left( 2\,s \right) \zeta \left( 7 \,s \right) -\zeta \left( 3\,s \right) \zeta \left( 6\,s \right) -\zeta \left( 4\,s \right) \zeta \left( 5\,s \right) + 2\,\zeta \left( 9\,s \right)\\& =\zeta \left( 2\,s,3\,s,4\,s \right) +\zeta \left( 2\,s,4\,s,3\,s \right) +\zeta \left( 3\, s,2\,s,4\,s \right) \\&+\zeta \left( 3\,s,4\,s,2\,s \right) +\zeta \left( 4\,s,2\,s,3\,s \right) +\zeta \left( 4\,s,3\,s,2\,s \right)\\ \hline \mathfrak{M}_{1,1,1,2,2} & 1/12\, \left( \zeta \left( s \right) \right) ^{3} \left( \zeta \left( 2\,s \right) \right) ^{2}-1/4\,\zeta \left( s \right) \left( \zeta \left( 2\,s \right) \right) ^{3}-1/2\, \left( \zeta \left( s \right) \right) ^{2}\zeta \left( 2\,s \right) \zeta \left( 3\,s \right) \\&+2/3\, \left( \zeta \left( 2\,s \right) \right) ^{2}\zeta \left( 3\,s \right) +1/2\,\zeta \left( s \right) \left( \zeta \left( 3\,s \right) \right) ^{ 2}-1/12\, \left( \zeta \left( s \right) \right) ^{3}\zeta \left( 4\,s \right) \\&+5/4\,\zeta \left( s \right) \zeta \left( 2\,s \right) \zeta \left( 4\,s \right) -7/6\,\zeta \left( 3\,s \right) \zeta \left( 4\,s \right) +1/2\, \left( \zeta \left( s \right) \right) ^{2}\zeta \left( 5\,s \right) -3/2\,\zeta \left( 2\,s \right) \zeta \left( 5\,s \right)\\& -3/2\,\zeta \left( s \right) \zeta \left( 6\,s \right) +2\,\zeta \left( 7 \,s \right) =\zeta \left( s,s,s,2\,s,2\,s \right) +\zeta \left( s,s,2\,s,s,2\,s \right) \\&+\zeta \left( s,s,2\,s,2\,s,s \right) +\zeta \left( s,2\,s,s,s,2\,s \right) +\zeta \left( s, 2\,s,s,2\,s,s \right) \\&+\zeta \left( s,2\,s,2\,s,s,s \right) + \zeta \left( 2\,s,s,s,s,2\,s \right) +\zeta \left( 2\,s,s,s,2\, s,s \right) \\&+\zeta \left( 2\,s,s,2\,s,s,s \right) +\zeta \left( 2\,s,2\,s,s,s,s \right)\\ \hline \mathfrak{M}_{1,1,3,3} & 1/4\, \left( \zeta \left( s \right) \right) ^{2} \left( \zeta \left( 3\,s \right) \right) ^{2}-1/4\,\zeta \left( 2\,s \right) \left( \zeta \left( 3\,s \right) \right) ^{2}-\zeta \left( s \right) \zeta \left( 3\,s \right) \zeta \left( 4\,s \right)\\& +1/2\, \left( \zeta \left( 4\,s \right) \right) ^{2}+ \zeta \left( 3\,s \right) \zeta \left( 5\,s \right) -1/4\, \left( \zeta \left( s \right) \right) ^{2}\zeta \left( 6\,s \right) +1/4\,\zeta \left( 2\,s \right) \zeta \left( 6\,s \right) \\&+\zeta \left( s \right) \zeta \left( 7\,s \right) -3/2 \,\zeta \left( 8\,s \right) =\zeta \left( s,s,3\,s,3\,s \right) +\zeta \left( s,3\,s,s,3\,s \right) +\zeta \left( s,3 \,s,3\,s,s \right) \\&+\zeta \left( 3\,s,s,s,3\,s \right) +\zeta \left( 3\,s,s,3\,s,s \right) +\zeta \left( 3\,s,3\,s,s,s \right)\\ \hline \mathfrak{M}_{1,1,2,2} & 1/4\, \left( \zeta \left( s \right) \right) ^{2} \left( \zeta \left( 2\,s \right) \right) ^{2}-1/4\, \left( \zeta \left( 2 \,s \right) \right) ^{3}-\zeta \left( s \right) \zeta \left( 2 \,s \right) \zeta \left( 3\,s \right) +1/2\, \left( \zeta \left( 3\,s \right) \right) ^{2}\\&-1/4\, \left( \zeta \left( s \right) \right) ^{2}\zeta \left( 4\,s \right) +5/4\,\zeta \left( 2\,s \right) \zeta \left( 4\,s \right) +\zeta \left( s \right) \zeta \left( 5\,s \right) -3/2\,\zeta \left( 6\,s \right)\\& =\zeta \left( s,s,2\,s,2\,s \right) +\zeta \left( s,2 \,s,s,2\,s \right) +\zeta \left( s,2\,s,2\,s,s \right)\\& +\zeta \left( 2\,s,s,s,2\,s \right) +\zeta \left( 2\,s,s,2\,s,s \right) +\zeta \left( 2\,s,2\,s,s,s \right)\\ \hline \mathfrak{M}_{2,2,2,2} & 1/24\, \left( \zeta \left( 2\,s \right) \right) ^{4}-1/4\, \left( \zeta \left( 2\,s \right) \right) ^{2}\zeta \left( 4\, s \right) +1/8\, \left( \zeta \left( 4\,s \right) \right) ^{2} \\&+1/3\,\zeta \left( 2\,s \right) \zeta \left( 6\,s \right) -1/4 \,\zeta \left( 8\,s \right) =\zeta \left( 2\,s,2\,s,2\,s,2\,s \right)\\ \hline \end{array}$$ Otro que corresponde a $\mathfrak{M}_{1,2,2,5}$ es $$ \left( \zeta \left( 5\,s \right) \right) ^{2}+1/2 \,\zeta \left( 4\,s \right) \zeta \left( 6\,s \right) +\zeta \left( 3\,s \right) \zeta \left( 7 \,s \right) +2\,\zeta \left( 2\,s \right) \zeta \left( 8\,s \right) \\+\zeta \left( s \ \ derecho) \zeta \left( 9\,s \right) -\zeta \left( 2\,s \right) \zeta \left( 3\,s \right) \zeta \left( 5\,s \right) -1/2\,\zeta \left( s \ \ derecho) \zeta \left( 4\,s \right) \zeta \left( 5\,s \right) -1/2\, \left( \zeta \left( 2\,s \right) \right) ^{2} \zeta \left( 6\,s \right)\\ -\zeta \left( s \right) \zeta \left( 2\,s \right) \zeta \left( 7\,s \right) -3\,\zeta \left( 10\,s \right) +1/2\,\zeta \left( s \ \ derecho) \left( \zeta \left( 2\,s \right) \right) ^{2}\zeta \left( 5\,s \right) \\= \zeta \left( s,2\,s,2\,5\,s \right) +\zeta \left( s,2\,5\,s,2\,s \right) +\zeta \left( s,5 \,s,2\,s,2\,s \right) +\zeta \left( 2\,s,s,2\,5\, s \right) \\+\zeta \left( 2\,s,s,5\,s,2\,s \right) + \zeta \left( 2\,s,2\,s,s,5\,s \right) +\zeta \left( 2\,s,2\,5\,s,s \right) +\zeta \left( 2\,s ,5\,s,s,2\,s \right) \\+\zeta \left( 2\,5\,s,2\,s,s \right) +\zeta \left( 5\,s,s,2\,s,2\,s \right) + \zeta \left( 5\,s,2\,s,s,2\,s \right) +\zeta \left( 5\,s,2\,s,2\,s,s \right).$$