Si $\gcd(a,b)=9,$ qué es $\gcd(a^2,b^3)\,?$

Question

Sé que el Algoritmo euclidiano, puedo obtener las siguientes ecuaciones.

Traté de alguna manipulación algebraica pero parece que no puedo determinar, si $$\text{if }\;\gcd(a,b)=9,\text{ then what is }\gcd(a^2,b^3)\;?$ $

Answer 1

$\gcd(a,b) = 9$. Por lo $a = 9k$ $b=9j$ $k$ $j$ no tienen factores en común.

$\gcd(a^2,b^3) = \gcd(9^2k^2, 9^3j^3)$. $9^2k^2$ y $9j^3$ ha $9^2$ en común.

Así $\gcd(a^2,b^3) = \gcd(9^2k^2, 9^3j^3) = 9^2*\gcd(k^2, 9j^3)$. $k, j$ no tienen factores en común el uno con el otro, sino $9$ $k^2$ pueden tener factores comunes. Si lo hacen, entonces que el primer factor en común es $3$$9|k^2$.

Así

CASO 1: $a = 9k$$b=9j$$3|k$. por lo $k= 3l$ algunos $l$$a = 27l$. Si es así, a continuación, $3 \not \mid j$ ($j,k$no tienen factores en común).

Por lo $\gcd(a^2, b^3) = \gcd(27^2l^2, 9^3j^3)$. Estos han $9^3$ en común, pero $l$ $j$ no tienen factores en común y no de $3$ divide $j^3$.

Por lo $\gcd (a^2,b^3) = 9^3$.

CASO 2: $a = 9k$$b = 9j$$3 \not \mid k$. A continuación,$\gcd(a^2,b^3) = \gcd(9^2k^2, 9^3j^3)$. Estos han $9^2$ en común. $j$ $k$ no tienen nada en común y no de $3$ divide $k^2$.

Por lo $\gcd(a^2,b^3) = 9^2$.

Por lo que el $\gcd(a^2,b^3) = 9^3$ si $27|a$ pero $\gcd(a^2,b^3) = 9^2$ si $27 \not \mid a$.

Answer 2

Nota $\ (A,B) = 9\,\Rightarrow A,B = 9a,9b,\ \color{}{(a,b) = 1},\, $ % que $\,\color{#c00}{(a^2,b^3) = 1}\,$de Euler

Así $\ (A^2,B^3) = ((9a)^2,(9b)^3) = 81(\color{#c00}{a^2},9\color{#c00}{b^3}) = 81(a^2,9) = 81(a,3)^2 = (A,27)^2$

Answer 3

Si $\gcd(a, b) = 9$, que significa que el $a = 9m$, $b = 9n$ y $\gcd(m, n) = 1$.

En caso de tener cualquier duda sobre este último punto, digamos que $k = \gcd(m, n) > 1$. Entonces un divisor de ambos $k$$a$ y $b$ y de hecho $\gcd(a, b) = 9k > 9$. Pero si $k = \gcd(m, n) = 1$, que conserva $\gcd(a, b) = 9$.

Con eso fuera del camino, podemos abordar $\gcd(a^2, b^3)$. Vemos que el $a^2 = 81m^2$ y $b^3 = 729n^3$. Desde la cuadratura y cubicación no añadir ningún nuevo factores primeros distintos, $\gcd(m^2, n^3) = 1$. Este problema se reduce entonces a $\gcd(81, 729) = 81$.

Trate de conectar en algunos valores específicos: $\gcd(18, 45) = 9$. Entonces $\gcd(18^2, 45^3) = \gcd(324, 91125) = 81$.

Answer 4

Sugiero tratar muchos casos, con $s,t$ no divisible por $3.$ Figuring out cada caso debe explicar lo que está sucediendo.

A. $ a = 3^2 s, b = 3^2t.$

B. $a = 3^2 s, b = 3^3 t.$

C. $a = 3^2s, b = 3^4 t.$

D. $ a = 9s, b = 3^5 t. $

y así sucesivamente.

BB. $a = 3^3s, b = 3^2t$

CC. $a = 3^4s, b = 3^2t.$

DD. $a = 3^5s, b = 3^2t$

y así sucesivamente.

Answer 5

Respuesta rápida: SIEMPRE UN MÚLTIPLO DE $81$ (es el mejor que yo, personalmente, puede obtener sin necesidad real de los valores de $a$$b$)

Prueba dada a continuación:

Vamos ($x$,$y$) indicar el máximo común divisor de a$x$$y$.

Sabemos que $(x,y)$ es el menor entero positivo combinación lineal de $x$$y$.

También sabemos que todos los divisores comunes de a $x$ $y$ brecha de las combinaciones lineales de $x$ $y$

Considerar lo anterior para ser todo lo que sabemos sobre el máximo común divisor.

Ahora, sabemos que $(a,b) = 9$ y queremos demostrar que $(a^2,b^3) = k81$ para algún entero k. Sabemos por nuestra definición de lo que el máximo común divisor de que no existen enteros $c$ $d$ tal que $ca^2 + db^3 = (a^2,b^3)$. Debido a $a$ es divisible por $9$, $a^2$ es divisible por $81$. Del mismo modo $b^2$ es divisible por $81$. Por lo tanto, podemos afirmar que el $81$ es un divisor común de a$a^2$$b^2$. También podemos ver que $(a^2,b^3)$ es una combinación lineal de $a^2$$b^2$. Por lo tanto, $(a^2,b^3)$ es un desconocido arbitraria de varios de $81$.