Encontrando soluciones

Question

Un amigo dice que no es posible encontrar una forma cerrada para los más pequeños de reales positivos solución de $x^x = 2x$. Numéricamente hemos visto que $0.346...$ $2$ son soluciones, pero no son capaces de hacer cualquier cosa, pero aproximar la primera solución.

El primer intento de encontrar una forma cerrada estaba usando el mismo truco de como solucionar $$x^{x^{x^x...}} = 2$$ Donde criar a $x$ a la potencia de ambos lados, se obtiene: $$x^{x^{x^x...}} = x^2$$

$$\Rightarrow 2 = x^2 $$ $$\Rightarrow x = \sqrt{2}$$

Pero sin un poder infinito de la torre llegamos a ninguna parte.

Sabemos $f(z) = z^z$ es analítica con inverse $f^{-1}(z) = e^{W(ln(z))}$ donde $W(z)$ es la de Lambert-W función, Sino $x = e^{W(ln(2x))}$ no parece mejor.

Me pregunto cómo abordar un problema.

Answer 1

El día de hoy y por lo que yo sé acerca de funciones especiales, no hay forma cerrada para la no-trivial de la raíz de $x^x=2x$, incluso con la LambertW función. Esto requeriría una más avanzada o más general de la función especial que no está definido y se hace referencia todavía.

Como ya se ha mencionado, en la práctica, la raíz de $x\simeq 0.3456323$ es obtenido gracias al cálculo numérico.

De otra manera, pero no es útil en la práctica, porque más complicado, es la inversión de la función en términos de la serie : $x^x=2x$ es equivalente a $x^{x-1}=2$ $(x-1)\ln(x)=\ln(2)$

Considere la función $y=(x-1)\ln(x)$ . La serie de expansión y de inversión, que es un booring cálculo, conduce a : $$x=1-y^{1/2}+\frac{1}{4}y+\frac{1}{96}y^{3/2}-\frac{59}{92160}y^{5/2}-\frac{1}{92880}y^{3}-\frac{2783}{20643840}y^{7/2}-\frac{1}{24192}y^{4}-\frac{1060117}{118908518400}y^{9/2}-\frac{1}{4838400}y^{5}+...$$ En el presente caso, $y=\ln(2)$ Puting en la anterior ecuación se rinde a : $$x\simeq 0.346323$$

Answer 2

Voy a dar un ejemplo problema:

Una exponencial tetration es donde $x$ es exponentiated por sí mismo $n$ tiempos, como por ejemplo

$$_{ }^{ 4 }{ x }={ x }^{ {\displaystyle x }^{ {\displaystyle x }^{\displaystyle x } } }$$

Como $n$ enfoques $\infty$, luego de algunos $0$, la función bifurca en punto de $B$, que se divide en la rama superior donde $n$ es regular y la rama inferior donde $n$ es impar, aunque en ambos casos, $n$ enfoques $\infty$ .

Punto de $A$ es el origen $(0,0)$ y el punto de $C$ $(0,1)$

Deje $T$ ser el área de $ABC$ como se define por la parte superior e inferior de las ramas, y la línea de $x=0$

¿Cómo Solucionar esto?

Este problema es un poco más fácil de resolver si nos fijamos en la función(s) en la otra forma. La curva definida por la parte superior e inferior de las ramas, de unirse a punto de $B,$ también puede ser descrito por la ecuación implícita

$${ x }^{ { \displaystyle x }^{\displaystyle y } }-y=0$$

donde $x(y)$ arcos suavemente de $(0,0)$$(1,0)$. Entonces uno de varios posibles métodos de integración numérica se puede utilizar, una vez que tenemos una exacta implícita de la ecuación. Por ejemplo, dado un valuie $0\le y\le 1$, determinar numéricamente $x$ utilizando el método de la secante, y utilizarlo como un punto de datos para la integración numérica.

El punto crítico de la $B$ es $$\left( \dfrac { 1 }{ { e }^{ e } } ,\dfrac { 1 }{ e } \right) $$

Una forma más sencilla y directa para integrar numéricamente esto es usar un bucle para exponencialmente tetrate $0\le x\le { e }^{ -e } $ para algunos muy grandes $2n$$2n+1$, y el uso de la diferencia como un punto de datos para la integración numérica.

Por lo tanto, uno puede comprobar los resultados numéricos de ambos métodos para la confianza en la final de la exactitud.

Nota: El otro punto crítico para el infinito exponencial tetration es $$({ e }^{ \frac { 1 }{\displaystyle e } },e)$$

cual es el límite de convergencia, es decir, para $x>{ e }^{ \frac { 1 }{ e } }$ no convergen

Answer 3

No sé, si esto cuenta como otra solución, pero encontré esto en los números complejos para un % inicial $z=20-20I$usando la iteración del neutonio en Pari/GP

{ l2 = log(2); z = 20  - 20*I 
  for(k=1,50, 
        err = (l2 + z - z*exp(z))/( 1 - (1+z)*exp(z)) ;
        z=z-err ;
        if(abs(err)<1e-80,break());
      );
   print(z) }

los valores:

  z
  \\ result: 0.00067963071061921624623 - 18.812728043232459702*I
  y=exp(z)
  \\ result: 1.0000013310516279147 + 0.036844586179231404316*I

  [exp(z*y) ; 2*y] 
  \\ result:      
            [2.0000026621032558295 + 0.073689172358462808632*I]
            [2.0000026621032558295 + 0.073689172358462808632*I]

Necesitamos $ \exp(z \cdot y)$ aquí, simplemente $ y^y = 2y $ no funciona; Aquí utilizamos otra rama del registro para el hallazgo de $z$

Answer 4

No se encontró ninguna más raíces para $z^z - 2z=0$ además de los dos da un$r_1 \approx 0.346...$$r_2 = 2$, ni siquiera en el plano complejo.

A menudo se pueden encontrar las raíces cuando se utiliza el método de Newton-iteración: uno comienza en un valor complejo y recorre a la aproximación de la raíz y, a continuación, encontrar una arbitraria bien aproximación de la raíz; yo solía $f(z) = (z-1) \cdot \log(z) / \log(2) - 1$ y sus derivados para el método de Newton-rootfinding procedimiento.
Aquí está una foto para que las raíces en el método de Newton-algoritmo converge cuando comenzó a algunos de valor complejas $z_0$ y afirmar: que la encuentre $r_1$ o $r_2$ excepto, por supuesto, donde $z=0$ o $z=1$ que no puede ser evaluada debido a las singularidades. Área del cuadrado que se muestra es de la unidad-cuadrado en el plano complejo; $z_0$ de la zona azul déjame encontrar la raíz de $r_2=2$ $z_0$ desde la zona verde déjame encontrar la raíz de $r_1 $. No hay otras raíces se encuentran en esa área. Color más claro indica, que la raíz se encuentra rápidamente(número de iteraciones) color más oscuro indican más iteraciones. El límite entre el verde y el azul es probable fractal (pero no tengo un buen/análisis fiable) :

Answer 5

Una solución es como sigue: $$x^x=^2x=x↑^22=f_2(x)$$$$2 x = x↑ ^ 02 = f_0 (x) $$$$x↑^22=x↑^02$$$$ f_2 (x) = f_0 (x) $$The solution is $x = 2, algo $. For this function, $ f_n (x) = f_m (x) $ has solution $x = 2$ siempre y algo mas desconocido.

Se puede tener en cuenta que $2↑^m2=2↑^n2$ en la siguiente prueba: $$2+2=2*2=2^2=^22=...$ $Where que vemos que cada uno crea una forma de ir a la siguiente.

$something$ Es una cantidad infinita de soluciones, parte de cómo funcionan las exponenciales. Si buscas sólo soluciones reales, usted puede encontrar con aproximaciones.

Por la vuestra, $x=2$.