Cambio de variables en $k$-álgebras

Question

$k$ Es un campo algebraicamente cerrado y sea un ideal apropiado de $I$ $k[x_1, \dots, x_n]$. ¿Existe un ideal $J \subseteq (x_1, \dots, x_n)$ tal que $k[x_1, \dots, x_n]/I \cong k[x_1, \dots, x_n]/J$ como $k$-álgebra?

Answer 1

Decir $I \subseteq m:=(x-a_1, \dots, x-a_n)$ (estamos utilizando el Nullstellensatz, aquí). Entonces definir un isomorfismo de $k$-álgebras $\phi: k[x_1, \dots, x_n] \to k[x_1, \dots, x_n]$ $x_i \mapsto x_i + a_i$.

Claramente $\phi(m)=(x_1, \dots, x_n)$. Tomar $J:=\phi(I)$ y cuenta que uno tiene un $k$-algebra isomorfismo $$k[x_1, \dots, x_n]/I \to k[x_1, \dots, x_n]/J.$ $

Answer 2

Esto está muy claro en la correspondiente declaración geométrica: cada no vacío algebraica conjunto $\subseteq \mathbb{A}^n$ se puede mover a algunos que contiene el cero. Realmente una traducción de algún momento a la cero es suficiente.