El operador diferencial continuado

Question

Yo estaba jugando un poco esta mañana, hasta que me di cuenta de que podría escribir la arbitraria derivado de la $\cos x$

$$(\cos x)^{(n)} = \cos\big(\frac{\pi}{2}(n-1) \big)\sin x + \cos\big(\frac{\pi}{2}n\big)\cos x$$

Del mismo modo, la escritura de $$\sin x=\cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)$$

vemos que $$\frac{d^n}{dx^n}\sin x = \frac{d^n}{dx^n} \cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)$$

en el que se evalúa (creo que estoy usando la regla de la cadena correctamente en este caso):

$$\cos\big(\frac{\pi}{2}(n-1) \big)\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right) + \cos\big(\frac{\pi}{2}n\big)\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$$

la simplificación de

$$(\sin x)^{(n)} = \cos\big(\frac{\pi}{2}(n-1) \big)\cos x + \cos\big(\frac{\pi}{2}n\big)\sin x$$

donde tenemos que $n \in \mathbb{R}$

Estos dos resultados se pueden expresar como una complejidad exponencial.

Debido a que estas funciones pasa a ser continua, en cierto modo, el operador diferencial es ahora continua para el coseno y el seno.

Me pregunto si alguien puede interpretar esto para mí no he estudiar análisis real y que sólo tienen un nonrigorous cálculo de fondo.

Pregunta

Después de hacer un poco de lectura, me di cuenta de que debido a que cada función puede ser escrito como una transformada de Fourier, uno debería ser capaz de utilizar simplemente las definiciones anteriores para tomar la n-ésima derivada de la transformada de fourier de una función arbitraria a cualquier grado de precisión (por la elección de cómo muchos de los términos a incluir).

Es la hipótesis de la verdad? Si es así, se puede resumir en una manera en que yo sería capaz de entender y utilizar. Supongamos que saber la definición de la transformada de fourier. Todo lo que estoy buscando ahora es una ecuación general para el continuo operador diferencial de una función.

Answer 1

Usted tiene un conjunto de funciones $\{ \sin x, \cos x \}$ que es cerrado bajo la diferenciación debido a que $\sin ' = \cos$$\cos' = -\sin$. Así que usted es la restricción de la diferenciación de las dos dimensiones subespacio $M$ generado por estas funciones, que consiste en todas las $f=A\cos x + B \sin x$ con constantes $A$$B$. En este contexto, $\frac{d}{dx}$ es un operador lineal sobre un vector bidimensional del espacio. No importa lo que la norma de poner en este espacio, la topología será el mismo ya que de ser finito dimensionales. Por lo $\frac{d}{dx}$ será continua, no importa lo que la norma que usted elija para este subespacio de funciones. Usted puede hacer lo mismo con $\{ \cos(nx),\sin(nx) \}$ $n=1$ o $n=2$ o $n=3$, y se puede combinar cualquier número de estos así. Usted va a terminar con un espacio de funciones consta de combinaciones lineales de las funciones, y la diferenciación será un mapa de este espacio de nuevo a sí mismo.

La representación de la matriz de $\frac{d}{dx}$ que actúa sobre una base $\{\cos(nx),\sin(nx)\}$ tiene la forma $$\left[\begin{array}{cc}0 & -n \\ n & 0\end{array}\right]=n\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]$$ que es $n$ veces una contra-rotación a la derecha por $90^o$. El $k$la potencia de una matriz puede ser escrito como $n^k$ los tiempos de rotación $k \times 90^o$, lo que conduce a una extensión natural de un poder real $r$ $n^r$ veces una rotación alrededor de $r \times 90^o$: $$n^{r}R(r) = n^{r}\left[\begin{array}{cc} \sin(\frac{\pi}{2}r) & -\cos(\frac{\pi}{2}r) \\ \cos(\frac{\pi}{2}r) & \sin(\frac{\pi}{2}r) \end{array}\right]$$

La multiplicación por $i$ también sirve para girar a la izquierda en el plano complejo por $90^o$, que tiene una extensión natural de la multiplicación por $e^{ir\theta}$, que es el motivo por el poder exponencial de las funciones trigonométricas es un poco más fácil de tratar.

En términos de la serie de Fourier exponencial $$\frac{d^r}{d\theta^r}e^{\theta}=(en)^re^{\theta} = (ne^{i\pi/2})^re^{\theta} = n^r e^{ri\pi/2}e^{\theta}$$ Así, $$\frac{d^r}{d\theta^r}\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{\theta} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}n^r e^{i\pi r/2} e^{\theta}.$$ Esta es una definición razonable de la fracción de derivados para $r > 0$ que está de acuerdo con la definición habitual de $r=1,2,3,\cdots$.

El mismo tipo de cosa funciona de la transformada de Fourier, y también: $$\begin{align} \frac{d^r}{dx^r}f & = \frac{d^r}{dx^r} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ixs}\hat{f}(s)ds \\ & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}(is)^r e^{isx}\hat{f}(s)ds. \end{align}$$ Estas ideas de otoño bajo el título general de Cálculo Funcional para los operadores.